3.3.2抛物线的简单几何性质同步练习-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）

抛物线的几何性质
一、单选题
1．下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为
2．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
3．已知抛物线的焦点为F，准线为，过抛物线上一点P作于点，则（ ）
A．5 B．4 C． D．
4．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若的倾斜角为，则线段的中点到轴的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，且，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
6．双曲线：的一条渐近线与抛物线：的一个交点为(异于坐标原点)，的焦点为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在抛物线的准线上任取一点（异于准线与x轴的交点），连接并延长交抛物线于点，过点作平行于轴的直线交抛物线于点，则直线与轴的交点坐标为（ ）
A．与点位置有关 B．
C． D．
二、多选题
9．(多选)过点(0，1)且与抛物线y2＝x有且仅有一个公共点的直线是（ ）
A．x＝0 B．y＝0
C．x＝1 D．y＝1
10．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（ ）
A．的准线方程为 B．点的坐标为
C． D．三角形的面积为（为坐标原点）
11．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A．的准线方程为 B．线段长度的最小值为4
C． D．
12．设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为（ ）
A．为定值 B．直线过抛物线的焦点
C．最小值为16 D．到直线的距离最大值为4
三、填空题
13．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值__________．
14．已知直线与抛物线相交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是____________．
15．已知抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，的延长线交抛物线于点，若，则___________
16．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，则车辆通过隧道的限制高度为______.
四、解答题
17．已知抛物线经过点，F为抛物线的焦点，且．
（1）求的值；
（2）点Q为抛物线C上一动点，点M为线段的中点，试求点M的轨迹方程．
18．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线交抛物线于不同的两点，，设为坐标原点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
19．已知抛物线()的焦点为，直线交于，两点(异于坐标原点).
（1）若点的坐标为(3，2)，点为抛物线上一动点，线段与抛物线无交点，且的最小值为5，求抛物线的标准方程；
（2）当直线过时，证明：.
20．已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
（1）求的值；
（2）如图，已知为抛物线上过焦点的任意一条弦，弦的中点为垂直与抛物线准线交于点，若，求直线的方程.
参考答案
1．A
2．C
3．A
4．D
由题意，抛物线为，则，即直线为，
∴将直线方程代入抛物线整理得：，令，，
∴，故线段的中点的横坐标为代入直线，得：.
∴线段的中点到轴的距离是.
故选：D
5．B
由题知，抛物线方程为，设的直线方程为，代入抛物线方程，得，
设，，则，.
因为所以或故，即的斜率为.
故选：B
6．A
双曲线：的一条渐近线方程为：，与抛物线：的一个交点为，代入抛物线方程，可得，解得（舍）或，所以，又抛物线的焦点，则的面积为：.
故选：A.
7．B
如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，
设，则由已知得：，由定义得：，故
在直角三角形中，，
，，从而得
，，求得
所以抛物线的方程为．
故选：B
8．D
抛物线的准线方程为，设，，则直线的方程为，
由 得，令，可得，
所以直线的斜率为．所以直线的方程为，
令，解得，所以直线与轴的交点坐标为．
故选：D
9．AD
点(0，1)在抛物线外，过此点且与抛物线有一个公共点的直线共有3条：
其中两条是抛物线的切线；一条平行于抛物线的对称轴；
可得：直线x＝0是过(0，1)且与抛物线相切的直线，
直线y＝1是过(0，1)且平行于抛物线的对称轴的直线，
BC选项的直线不满足条件．
故选：AD.
10．ACD
如图，不妨设点位于第一象限，
设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点.
由抛物线的解析式可得准线方程为，
点的坐标为，则，，
在直角梯形中，中位线，
由抛物线的定义有，结合题意，有，
故，，.
故选：ACD.
11．BCD
焦点F到准线的距离为p=2，所以抛物线C的焦点为(1，0)，
准线方程为x=－1，则选项A错误；
当PQ垂直于x轴时长度最小，此时P(1，2)，Q(1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B正确；
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x=my+1，联立x=my+1，y2＝2px ，
消去y可得x2－(4m2+2)x+1=0，消去x可得y2－4my－4=0，
所以x1+x2=4m2+2，y1+y2=4m，
，
当时成立， 则选项C正确；
又x1x2=1，y1y2=－4，所以＝x1x2+y1y2=－3，则选项D正确；
故选：BCD
12．ACD
对于A，因为，所以，
所以，故A正确；
对于B，设直线，代入可得，
所以，即，所以直线过点，
而抛物线的焦点为，故B错误；
对于C，因为，
当时，等号成立，
又直线过点，所以，故C正确；
对于D，因为直线过点，所以到直线的距离最大值为4，故D正确.
故选：ACD.
13．6
14．（4，2）
设，由得到也就是，所以 ，故，因此中点坐标为.
点睛：直线与圆锥曲线的位置关系，通常联立方程，通过韦达定理去处理与两根之和、两根之积相关的代数式或相关问题.
15．
由题意，得，，，如图，过点向准线作垂线，垂足为，设与轴的交点为，根据已知条件，结合抛物线定义，得，所以，所以.
故答案为：.
16．
如图所示，设隧道上部抛物线的方程为：，
由图可知，点在抛物线上，将点代入得，得，故抛物线方程为，
当行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差为时，
设车高为，则，则点到轴的距离为：，则点，代入抛物线方程得，解得，故车辆通过隧道的限制高度为．
故答案为：．
17．（1）；（2）.
解:
（1）由抛物线经过点可得：，
又，可得，
解得，；
（2）由（1）知，则，
设，，
根据点M为线段的中点，可得：
，即，
由点Q为抛物线C上，所以，
整理可得点M的轨迹方程为.
18．（1）；（2）证明见解析．
解:
（1）∵点在抛物线上，且，
∴，解得，
∴抛物线的方程为．
（2）证明：依题意，设直线，，，
联立消去可得，
由韦达定理得，
∴，
即为定值．
19．（1）；（2）证明见解析.
解:
（1）设为点到的距离，则由抛物线定义知，，
所以当点为过点且垂直于准线的直线与抛物线的交点时，
取得最小值，
即，解得，
所以抛物线的标准方程为.
（2）由题可设直线的方程为：，，，
由得，
由根与系数的关系可得：，
所以，
所以当直线过定点时，.
20．（1）；（2）.
解:
（1）抛物线（）的焦点为，准线方程为，由抛物线定义得：
，所以.
（2）由（1）得抛物线方程为
设直线：，与联立，消去x，整理得：，
设，，，有，
则弦长，弦中点
故弦的垂直平分线方程为
令得，即
故点P到直线的距离.
所以
所以，直线方程为