4.2指数函数的性质 基础测试卷-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

2021~2022学年第一学期新人教A版数学必修一
4.2指数函数的图像与性质基础测试卷
一．选择题（单选题）(本题共有8道小题，每小题5分，满分40分)
1.已知函数满足的定义域是，则的定义域是(　　)
A． B． C． D．
2.函数＝的递增区间是(　　)
A． B． C． D．
3.设＝，x∈R，那么是(　　)
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
4.已知函数＝，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是(　　)A． B． C． D．
5．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
6.已知，则“”是“”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7.若关于的方程：有解，则实数的取值范围为(　　)
A． B． C． D．
8.已知函数若，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
二．选择题（多选题）(本题共有4道小题，每小题5分，满分20分)
9.已知函数且，则下列结论中，可能成立的是(　　)
A． B． C． D．
10.若，则(　　)
A．在，上单调递增 B．与的图象关于轴对称
C．的图象过点 D．的值域为
11.已知函数，则下面几个结论正确的有(　　)
A．的图象关于原点对称 B．的图象关于y轴对称
C．的值域为， D．，且，恒成立
12．下列说法正确的是(　　)
A．函数在定义域上是减函数
B．函数与x轴有且只有两个交点
C．函数的最小值是1
D．在同一坐标系中函数与的图象关于原点对称
三．填空题(本题共有5道小题，每小题5分，满分25分)
13.已知函数为奇函数，则的值为________．
14.函数在[－1，1]上最大值是________，最小值是________．
已知函数(其中为常数，，且)的图象经过，两点．
若不等式在上恒成立，则实数的最大值为________．
16.已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对，，使得，则实数的取值范围为____________．
17.设函数(为常数)．若对，恒成立，则实数的取值范围是________．
四．解答题(本题共有6道题，满分65分)
18.(10分)已知函数，，其中且.当时，的最大值与最小值之和为.
(1)求的值；
(2)若，记函数，求当时，的最小值.
19.(10分)已知函数.
(1)若，求函数的单调增区间；
(2)如果函数有最大值，求实数的值．
20.(10分)已知定义在上的函数是奇函数．
(1)求的值；
(2)判断的单调性(不需要写出理由)；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21.(10分)设函数且是定义域为的奇函数．
(1)求的值；
(2)若，求使不等式恒成立的的取值范围；
(3)若，设 在上的最小值为，求的值．
22.(12分)定义：若对定义域内任意的，都有(为正常数)，则称函数为“”增函数．
(1)若，试判断是否为“”增函数，并说明理由；
(2)若是“”增函数，求实数a的取值范围．
23.(13分)已知函数是奇函数．
(1)求，的值；
(2)证明：是区间上的减函数；
(3)若，求实数的取值范围．
2021~2022学年第一学期新人教A版数学必修一
3.2.2指数函数的图像与性质基础练习参考答案
选择题（单选题）
1.已知函数满足的定义域是，则的定义域是(　　)
A． B． C． D．
【答案】选C　
解：∵的定义域是，即，∴，∴的定义域是，
∴有意义必须满足，∴.选C.
2.函数＝的递增区间是(　　)
A． B． C． D．
【答案】选B.
解：由可知函数的定义域为，
又因为函数＝在上递减，
所以函数在上递减，
所以函数＝在上递增，
所以函数＝的递增区间是.
3.设＝，x∈R，那么是(　　)
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
【答案】选D
解：因为＝＝＝，
所以为偶函数．
又当x＞0时，＝在(0，＋∞)上是减函数，故选D.
4.已知函数＝，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是(　　)A． B． C． D．
【答案】选D
解：由题意可得＝有解，
即有解．
可得 ①，求得.
再由x为非零实数，可得①中等号不成立，故.
5．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】选A
解：因为，
所以，在不等式两边同乘得：，
因为函数在上是增加的，所以，当时，恒成立等价于，故.
6.已知，则“”是“”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】选B
解：由不等式，可以构造一个函数，可以判断该函数为偶函数且时，函数单调递增．当时，，这时可以为负数、正数、零，因此x，y的大小关系不确定，因此由“”不一定能推出“”．当成立时，利用偶函数的性质，可以得到 ，而，因此有，所以，若，则有，所以，这与矛盾，故.故“”是“”的必要不充分条件．故选B.
7.若关于的方程：有解，则实数的取值范围为(　　)
A． B． C． D．
【答案】选D
解：因为，
令，则.当且仅当时等号成立．
所以，所以a的取值范围为. 选D.
8.已知函数若，则实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】选A.
解：当时，单调递减，且；当时，的对称轴为，
抛物线开口向下，此时在上单调递减且.
综上是减函数，若，则，
则实数的取值范围是.
二．选择题（多选题）
9.已知函数且，则下列结论中，可能成立的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】选BD
解:作出函数的图象，如图．
结合图象及已知条件知，在之间，可能大于可能小于，
所以B可能成立．
由，所以.D成立．
选BD.
10.若，则(　　)
A．在，上单调递增 B．与的图象关于轴对称
C．的图象过点 D．的值域为
【答案】故选AB
解：在R上单调递增，则A正确；
与的图象关于轴对称则B正确；
由，得的图象过点，，则C错误；
由，可得，则D错误．故选A、B.
11.已知函数，则下面几个结论正确的有(　　)
A．的图象关于原点对称 B．的图象关于y轴对称
C．的值域为， D．，且，恒成立
【答案】选ACD
解：对于A，，则，则的图象关于原点对称；
对于B，计算，故的图象不关于轴对称；
对于C，，令
易知：，，故的值域为，；
对于D，，在定义域上单调递减，故，且，恒成立．故选ACD.
12．下列说法正确的是(　　)
A．函数在定义域上是减函数
B．函数与x轴有且只有两个交点
C．函数的最小值是1
D．在同一坐标系中函数与的图象关于原点对称
【答案】选CD
解：对于A，f(x)＝在定义域上不具有单调性；
对于B，在同一坐标系中，画出与的图象，有三个交点，故函数与轴有三个交点，一个负值，两个正值；
对于C，因为，所以，所以函数的最小值是，正确；对于D，在同一坐标系中，函数与的图象关于原点对称，正确．故选C、D.
三．填空题
13.已知函数为奇函数，则的值为________．
【答案】：2
解：由当时，，易证其是奇函数．
14.函数在[－1，1]上最大值是________，最小值是________．
【答案】：　 －
解:由，得是R上的增函数，所以的最大值是最小值是.
已知函数(其中为常数，，且)的图象经过，两点．
若不等式在上恒成立，则实数的最大值为________．
【答案】：
解：由已知可得解得.
则不等式＋－在上恒成立，设＝＋，
显然函数＝＋在上单调递减，
∴，故，即，
∴实数的最大值为.
16.已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对，，使得，则实数的取值范围为____________．
【答案】
解:当时，为增函数，
所以，
又是定义在上的奇函数，所以时，.
在上的最大值为，
又，，使得，，所以，
所以.
17.设函数(为常数)．若对，恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】：
解：因为恒成立，参变分离得，恒成立．设，则在时恒成立．又，故.
四．解答题
18.已知函数，，其中且.当时，的最大值与最小值之和为.
(1)求的值；
(2)若，记函数，求当时，的最小值.
解:(1)因为在上为单调函数，的最大值与最小值之和为或.
(2)由题知，，.
令，因为，，，对称轴为，
综上所述，＝.
19.已知函数.
(1)若，求函数的单调增区间；
(2)如果函数有最大值，求实数的值．
解：(1)当时，，
令＝－，
由于在上递减，＝在上是减函数，所以在上是增函数，即的单调增区间是．
(2)令，＝，
由于有最大值，所以应有最小值.
因此必有,解得，即当有最大值时，实数的值为.
20.已知定义在上的函数是奇函数．
(1)求的值；
(2)判断的单调性(不需要写出理由)；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：(1)∵的定义域为，且为奇函数，
∴，即，
(2)由(1)知，故在上为减函数．
(3)∵为奇函数，
∴可化为．
由(2)知在上单调递减，∴，
即对于一切∈恒成立，
∴，∴的取值范围是.
21.设函数且是定义域为的奇函数．
(1)求的值；
(2)若，求使不等式恒成立的的取值范围；
(3)若，设 在上的最小值为，求的值．
解：(1)因为是定义域为的奇函数，
所以，即，或，
当时，不是奇函数；
当时，，满足，是奇函数．所以
(2)因为,由于，所以，所以在上为增函数．
由得恒成立，
又因为的最大值为，所以
(3)由，解得或，又，
.
设，当时，，
在u∈上的最小值为
所以或解得
22.定义：若对定义域内任意的，都有(为正常数)，则称函数为“”增函数．
(1)若，试判断是否为“”增函数，并说明理由；
(2)若是“”增函数，求实数a的取值范围．
解：(1)对任意的，，
，，即是“”增函数．
(2)＝
因为是“ ”增函数，所以恒成立，
因为，，解得，因为，
所以. 故实数a的取值范围是
23.已知函数是奇函数．
(1)求，的值；
(2)证明：是区间上的减函数；
(3)若，求实数的取值范围．
解：(1)函数是奇函数，
所以＝－恒成立，即，,
整理得
因为 所以
(2)证明：由(1)得,，
设任意，且，
则＝，
因为，所以，所以，
而，所以
所以，即,是区间上的减函数；
(3)，，
因为函数是奇函数，所以，
因为函数是区间上的减函数，
所以，解得，所以实数的取值范围是.