2021-2022学年安徽省阜阳市太和县民族中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（Word版 含解析）

2021-2022学年安徽省阜阳市太和县民族中学九年级第一学期月考数学试卷（10月份）
一．选择题（本题共10道小题，每小题4分，共40分）
1．一元二次方程x2+ax＝4有一根为4，则a的值是（　　）
A．﹣4 B．2 C．﹣3 D．﹣1
2．方程（x+1）（x﹣2）＝x+1的根为（　　）
A．3 B．﹣1 C．1和﹣2 D．﹣1和3
3．若x1，x2是x2+bx﹣3b＝0的两个根，且x12+x22＝7，则b的值是（　　）
A．﹣7 B．1 C．1或7 D．7或﹣1
4．某小组各人之间互赠礼物一件，全组共赠送礼物182件，如果全组共有x名同学，则根据题意所列方程为（　　）
A．x（x+1）＝182 B．x（x﹣1）＝182
C．x（x﹣1）＝182×2 D．x（x+1）＝182×2
5．函数写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c，且a＜0，b＝0，c＜0，则图象一定经过（　　）象限．
A．三、四 B．一、三、四
C．一、二、三、四 D．二、三、四
7．已知点A（3，y1），B（，y2）是抛物线y＝x2﹣4x+m上的两点，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，下列结论：
①abc＜0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0
其中正确的是（　　）
A．①② B．只有① C．③④ D．①④
9．二次函数y＝ax2+bx+c如图，则ax2+bx+c+2＝0的根的情况是（　　）
A．无实根 B．有两个不相等的实根
C．有两个相等的实根 D．有两个同号不等实根
10．抛物线y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞﹣且k≠0
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11．已知m是方程x2+3x﹣9＝0的一个根，则m2+3m＝　 　．
12．关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则a＝　 　．
13．二次函数图象开口向上，与轴交于点A（﹣1，0），B（1，0），顶点是P（0，﹣5），则三角形△ABP面积是 　 　．
14．若二次函数y＝2x2平移后顶点坐标是（﹣2，3），则平移后抛物线的解析式为 　 　．
三．计算题（本题共2小题，每小题8分，共16分）
15．解方程：3（y﹣3）2＝2（3﹣y）．
16．已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+2x+m2﹣9＝0有一根是0，试确定m的值．
四.（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．
18．解方程：
（1）2x2+3＝7x；　　　　　　　　　　　　
（2）（2x+1）2+4（2x+1）+3＝0．
五.（本题共2小题，每小题10分，共20分）
19．某市加快廉租房建设，2018年投入3亿元人民币建设廉租房12万平方米，2020年投资6.75亿元建设廉租房，若在这两年每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年的建设成本不变，问2020年建设了多少平方米廉租房？
20．在直角坐标系中，抛物线．
（1）用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）指出x为何值时，y随x的增大而减小；
（3）x为何值时，抛物线在x轴的上方．
六．（本题12分）
21．如图，已知抛物线y＝ax2﹣4x+c经过A（﹣1，﹣1），B（2，﹣9）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）点P（m，m）为抛物线上一点，求m的值．
七.（本题12分）
22．某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定每件商品的利润不得超过30%．
（1）根据物价局规定，此商品每件售价最高可定为多少元？
（2）若每件商品售价定为x元，则可卖出（170﹣5x）件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的售价应定为多少元？
八.（本题14分）
23．如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA是12m，宽OB是4m．按照图中所示的直角坐标系，隧道顶端D到路面OA的距离为10m．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线的拱壁上需要安装路灯，如果灯离地面的高度不超过8.5m，那么两灯的水平距离最小是多少？
参考答案
一．选择题（本题共10道小题，每小题4分，共40分）
1．一元二次方程x2+ax＝4有一根为4，则a的值是（　　）
A．﹣4 B．2 C．﹣3 D．﹣1
【分析】将x＝4代入原方程求解．
解：把x＝4代入x2+ax＝4得16+4a＝4，
解得a＝﹣3，
故选：C．
2．方程（x+1）（x﹣2）＝x+1的根为（　　）
A．3 B．﹣1 C．1和﹣2 D．﹣1和3
【分析】先移项得到（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）＝0，然后利用因式分解法求解．
解：（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）＝0，
（x+1）（x﹣2﹣1）＝0，
x+1＝0或x﹣2﹣1＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝3．
故选：D．
3．若x1，x2是x2+bx﹣3b＝0的两个根，且x12+x22＝7，则b的值是（　　）
A．﹣7 B．1 C．1或7 D．7或﹣1
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和代数式变形列出方程求解即可，注意x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2．
解：∵x1、x2是关于x的方程x2+bx﹣3b＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3b．
又∵x12+x22＝7，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝b2+6b＝7，
解得b＝﹣7或1，
当b＝﹣7时，Δ＝49﹣84＜0，方程无实数根，应舍去，取b＝1．
故选：B．
4．某小组各人之间互赠礼物一件，全组共赠送礼物182件，如果全组共有x名同学，则根据题意所列方程为（　　）
A．x（x+1）＝182 B．x（x﹣1）＝182
C．x（x﹣1）＝182×2 D．x（x+1）＝182×2
【分析】由各人之间互赠礼物一件及全组共有x名同学，可得出每人赠送（x﹣1）件礼物，再利用全组赠送礼物数＝人数×每人赠送礼物数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵全组共有x名同学，且各人之间互赠礼物一件，
∴每人赠送（x﹣1）件礼物．
又∵全组共赠送礼物182件，
∴可列方程x（x﹣1）＝182．
故选：B．
5．函数写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
解：＝﹣（x2﹣6x+9﹣9）﹣2＝（x﹣3）2+1，即y＝（x﹣1）2+．
故选：D．
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c，且a＜0，b＝0，c＜0，则图象一定经过（　　）象限．
A．三、四 B．一、三、四
C．一、二、三、四 D．二、三、四
【分析】根据a＜0判断图象开口方向，b＝0判断图象对称轴，c＜0判断图象与y轴交点位置，进而求解．
解：∵a＜0，
∴图象开口向下，
∵b＝0，
∴抛物线对称轴为y轴，
∵c＜0，
∴抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴抛物线一定经过三，四象限．
故选：A．
7．已知点A（3，y1），B（，y2）是抛物线y＝x2﹣4x+m上的两点，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定
【分析】抛物线开口向上，且对称轴为直线x＝2，根据二次函数的图象性质：在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
解：∵y＝x2﹣4x+m，
∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线：x＝﹣＝2．
∵点A（3，y1），B（，y2）是抛物线y＝x2﹣4x+m上的两点，且2＜3＜，
∴y1＜y2．
故选：A．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，下列结论：
①abc＜0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0
其中正确的是（　　）
A．①② B．只有① C．③④ D．①④
【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号．
解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，①正确；
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，即2a﹣b＝0，②错误；
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，③错误；
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，④正确；
故选：D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c如图，则ax2+bx+c+2＝0的根的情况是（　　）
A．无实根 B．有两个不相等的实根
C．有两个相等的实根 D．有两个同号不等实根
【分析】将方程的解转化为二次函数与x轴的交点横坐标，然后结合函数图象判断．
解：∵ax2+bx+c+2＝0的解即为函数y＝ax2+bx+c+2与x轴的交点横坐标，
由图可知，函数y＝ax2+bx+c向上平移2个单位后与x轴有2个不同的交点，
∴函数y＝ax2+bx+c+2与x轴有2个不同的交点，
∴方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等实根．
故选：B．
10．抛物线y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣ D．k＞﹣且k≠0
【分析】抛物线y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，即一元二次方程kx2﹣7x﹣7＝0有解，此时△≥0．
解：∵抛物线y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，
即y＝0时方程kx2﹣7x﹣7＝0有实数根，
即Δ＝b2﹣4ac≥0，即49+28k≥0，
解得k≥﹣，且k≠0．
故选：B．
二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
11．已知m是方程x2+3x﹣9＝0的一个根，则m2+3m＝　9　．
【分析】把方程的解代入方程，变形方程可得结论．
解：把m代入方程，得m2+3m﹣9＝0，
∴m2+3m＝9．
故答案为：9．
12．关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+1＝0有两个相等的实数根，则a＝　﹣　．
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+1≠0且Δ＝12﹣4（a+1）＝0，然后解关于a的方程即可．
解：根据题意得a+1≠0且Δ＝12﹣4（a+1）＝0，
解得a＝﹣．
故答案为﹣．
13．二次函数图象开口向上，与轴交于点A（﹣1，0），B（1，0），顶点是P（0，﹣5），则三角形△ABP面积是 　5　．
【分析】利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
解：∵二次函数图象开口向上，与轴交于点A（﹣1，0），B（1，0），
∴AB＝2，
∵顶点是P（0，﹣5），
∴OP＝5，
∴△ABP的面积＝AB OP＝＝5，
故答案为：5．
14．若二次函数y＝2x2平移后顶点坐标是（﹣2，3），则平移后抛物线的解析式为 　y＝2x2+8x+11　．
【分析】由于平移后抛物线的开口方向和形状没改变，即a的值不变，则可根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解：抛物线y＝2x2经过平移后顶点的坐标为（﹣2，3），
则平移后的解析式为y＝2（x+2）2+3＝2x2+8x+11．
故答案为：y＝2x2+8x+11．
三．计算题（本题共2小题，每小题8分，共16分）
15．解方程：3（y﹣3）2＝2（3﹣y）．
【分析】先移项，再利用因式分解的提公因式法求解．
解：3（y﹣3）2＝2（3﹣y），
3（3﹣y）2﹣2（3﹣y）＝0，
（3﹣y）[3（3﹣y）﹣2]＝0，
即（3﹣y）（7﹣3y）＝0，
所以3﹣y＝0或7﹣3y＝0．
解得y1＝3，y2＝．
16．已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+2x+m2﹣9＝0有一根是0，试确定m的值．
【分析】把方程的根代入方程，先求出m的值，再根据方程是一元二次方程确定m的值．
解：∵（m﹣3）x2+2x+m2﹣9＝0有一根是0，
∴m2﹣9＝0．
∴m＝±3．
由于方程是一元二次方程，
所以m﹣3≠0，即m≠3．
∴m＝﹣3．
四.（本题共2小题，每小题8分，共16分）
17．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）计算出自变量为﹣2对应的二次函数值，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移情况．
解：（1）把B（﹣1，0）和点C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）把x＝﹣2代入y＝﹣x2+2x+3得y＝﹣4﹣4+3＝﹣5，
点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），
所以需将抛物线向上平移4个单位．
18．解方程：
（1）2x2+3＝7x；　　　　　　　　　　　　
（2）（2x+1）2+4（2x+1）+3＝0．
【分析】（1）本题可以运用因式分解法解方程．因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．
（2）令t＝2x+1，则原方程转化为t2+4t+3＝0，解该方程求得t的值，然后求x的值即可．
解：（1）原方程可变形为（2x﹣1）（x﹣3）＝0
∴2x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝，x2＝3；
　　　　　　　　　　　　
（2）令t＝2x+1，则原方程转化为t2+4t+3＝0，
整理，得
（t+1）（t+3）＝0，
所以t＝﹣1或t＝﹣3，
所以2x+1＝﹣1，或2x+1＝﹣3，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣2．
五.（本题共2小题，每小题10分，共20分）
19．某市加快廉租房建设，2018年投入3亿元人民币建设廉租房12万平方米，2020年投资6.75亿元建设廉租房，若在这两年每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年的建设成本不变，问2020年建设了多少平方米廉租房？
【分析】（1）设每年市政府投资的增长率为x，由3（1+x）2＝2020年的投资，列出方程，解方程即可；
（2）2020年的廉租房＝12×（1+50%）2，即可得出结果．
解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，
根据题意，得3（1+x）2＝6.75，
解得x＝0.5或x＝﹣2.5（不合题意，舍去），
∴x＝0.5＝50%，
即每年市政府投资的增长率为50%；
（2）∵12（1+50%）2＝27，
∴2020年建设了27万平方米廉租房．
20．在直角坐标系中，抛物线．
（1）用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）指出x为何值时，y随x的增大而减小；
（3）x为何值时，抛物线在x轴的上方．
【分析】（1）先用配方法求得抛物线的顶点式，然后求得顶点坐标与对称轴；
（2）利用抛物线的开口方向和对称轴得到函数的增减性；
（3）令y＝0得到对应x的值，然后结合函数开口方向得到结果．
解：（1）∵＝﹣（x+1）2+，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，），对称轴为直线x＝﹣1；
（2）∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣1，
∴当x≥﹣1时，y随x的增大而减小；
（3）令y＝0，则﹣（x+1）2+＝0，
解得：x＝2或x＝﹣4，
∵抛物线开口向下，
∴当﹣4＜x＜2时，抛物线在x轴的上方．
六．（本题12分）
21．如图，已知抛物线y＝ax2﹣4x+c经过A（﹣1，﹣1），B（2，﹣9）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）点P（m，m）为抛物线上一点，求m的值．
【分析】（1）把把A点和B点坐标代入y＝ax2﹣4x+c得关于a和c的方程组，然后解方程求出a和c即可得到抛物线解析式，把解析式配成顶点式即可得到抛物线的顶点坐标；
（2）把P（m，m）代入y＝x2﹣4x﹣得m的一元二次方程，解方程求出m的值．
解：（1）把A（﹣1，﹣1），B（2，﹣9）两点代入y＝ax2﹣4x+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣；
∴y＝x2﹣4x﹣＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线的顶点坐标为（，﹣）；
（2）把P（m，m）代入y＝x2﹣4x﹣得m2﹣4m﹣＝m，
整理得4m2﹣15m﹣19＝0，解得m1＝﹣1，m2＝，
即m的值为﹣1或．
七.（本题12分）
22．某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定每件商品的利润不得超过30%．
（1）根据物价局规定，此商品每件售价最高可定为多少元？
（2）若每件商品售价定为x元，则可卖出（170﹣5x）件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的售价应定为多少元？
【分析】（1）原价加上原价的30%即为最高售价；
（2）根据：每件盈利×销售件数＝总盈利额；其中，每件盈利＝每件售价﹣每件进价．建立等量关系．
解：（1）16（1+30%）＝20.8，
答：此商品每件售价最高可定为20.8元．
（2）（x﹣16）（170﹣5x）＝280，
整理，得：x2﹣50x+600＝0，
解得：x1＝20，x2＝30，
因为售价最高不得高于20.8元，所以x2＝30不合题意应舍去．
答：每件商品的售价应定为20元．
八.（本题14分）
23．如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA是12m，宽OB是4m．按照图中所示的直角坐标系，隧道顶端D到路面OA的距离为10m．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线的拱壁上需要安装路灯，如果灯离地面的高度不超过8.5m，那么两灯的水平距离最小是多少？
【分析】（1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式；
（2）令x＝10，求出y与6作比较；
（3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8.5所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．
解：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），
设抛物线解析式为：y＝a（x﹣6）2+10，
将点C（3，）代入y＝a（x﹣6）2+10，
得：9a+10＝，
解得：a＝﹣，
故该抛物线解析式为y＝﹣（x﹣6）2+10；
（2）根据题意，当x＝6+4＝10时，y＝﹣×16+10＝＞6，
∴这辆货车能安全通过；
（3）令y＝8.5，则﹣（x﹣6）2+10＝8.5，
解得：x1＝3，x2＝9，
则x2﹣x1＝9﹣3＝6．
所以两排灯的水平距离最小是6m．