海南省鲁迅中学2012届高三考前冲刺数学（文）试题

海南鲁迅中学2012届高三冲刺题
文 科 数 学
祝考试顺利
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页，满分150分。考试用时120分钟。
参考公式：
柱体的体积公式：，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高.
圆柱的侧面积公式：，其中c是圆柱的底面周长，是圆柱的母线长.
球的体积公式V=, 其中R是球的半径.
球的表面积公式：S=4π,其中R是球的半径.
用最小二乘法求线性回归方程系数公式 .
如果事件互斥，那么.
第I卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，将正确答案的代号涂在答题卡上．
1. 若集合满足则集合B的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．复数则（ ）
A． B． C． D．
3. 平面直角坐标系中，圆方程为，直线与圆交于两点，又知角、的始边是轴，终边分别为和，则
（A） （B） （C） （D）
4．若数列满足（为正常数，）,则称为“等方差数列”.
甲：数列为等方差数列；乙：数列为等差数列，则甲是乙的 （ ）
A．充分不必条件 B．必不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．向量，则的值为( )
A．-10 B．-6 C．0 D．6
6．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
7．如图，某简单几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是连长为1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是 （D ）
8．方程的根所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A． B．C． D．
10.阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为（ ）
A．0 B． C． D．
11．以抛物线上的任意一点为圆心作圆与直线相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是（ ） （ ）
A． B．（2，0） C．（4，0） D．
12．设定义域为R的函数，关于的方程 有7个不同的实数解，则（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.
13．在△ABC中，则b=________ .
14．设表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为
15．已知，的取值如右表所示：
若与线性相关，且，则_________
16．在不等式组所表示的平面区域内,求点（）落在∈[1，2]区域内的概率是 ．
三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．
17．（本题满分12）设等差数列的前项和为，且，。
（Ⅰ）求的前项和； （Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.
18．（本小题满分12分）如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，，AE∥CD，DC=AC=2AE=2.
（Ⅰ）求证：平面BCD平面ABC
（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅲ）求四面体B-CDE的体积.
19．（本题满分12分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；
(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.
20．（本题满分12分） 设椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：
x 3 —2 4
y 0 —4 -
（1）求的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于不同两点且，请问是否存在这样的
直线过抛物线的焦点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
21．（本题满分12分）已知函数
(Ⅰ)当时，求在区间上的最大值和最小值；
(Ⅱ)如果函数在公共定义域D上，满足，
那么就称为的“伴随函数”.已知函数
，.若在区间上，
函数是的“伴随函数”，求的取值范围.
四．选考题（从下列三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分，满分10分，请将答题的过程写在答题卷中的指定的位置）
22．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图：在Rt∠ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作，垂足为E，连接AE交⊙O于点F，求证:。
23．选修4－4：坐标系与参数方程. （本小题满分10分）
已知曲线C：为参数，0≤<2π)，
（Ⅰ）将曲线化为普通方程；
（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．
24．选修4—5：不等式选讲.（本小题满分10分）
设函数，
（1）当a=1时，求不等式的解集．
（2）若在上恒成立，求实数的最大值。
参考答案
一、选择题DCCDA ADBAC BB
二、填空题
13．5 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）
（2）
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵面ABC面ACDE，面ABC面ACDE=AC，CDAC，
∴DC面ABC，…………………………………2分
又∵DC面BCD，∴平面BCD平面ABC. ……………4分
（Ⅱ）取BD的中点P，连结EP、FP，则PF DC,
又∵EADC，∴EAPF，…………………6分
∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP，
又∵EP面BDE，∴AF∥面BDE.…………………8分
（Ⅲ）∵BAAC，面ABC面ACDE=AC，∴BA面ACDE.
∴BA就是四面体B-CDE的高，且BA=2. ……………10分
∵DC=AC=2AE=2，AE∥CD，
∴
∴ ∴………………12分
19．解：(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10＝0.08，(2分)
由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为＝25，(4分)
(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4；(6分)
频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10＝0.016.(8分)
(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6，
在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，
(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，
(3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,5)，(4,6)，
(5,6)共15个，(10分)
其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个，
故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是＝0.6.(12分)
20．解：（1）设抛物线，则有，据此验证5个点知只有（3，）、（4，-4）在统一抛物线上，易求 2分
设，把点（-2，0）（，）代入得
解得
∴方程为 5分
（2）假设存在这样的直线过抛物线焦点（1，0）
设其方程为设，
由。得 7分
由消去，得△
∴ ①
② 9分
将①②代入（*）式，得
解得 11分
假设成立，即存在直线过抛物线焦点F
的方程为： 12分
21．解：(Ⅰ)当时，； -------1分
对于，有，∴在区间上为增函数，
∴. -----------------3分
(Ⅱ)在区间上，函数是的“伴随函数”，则，令对恒成立， ------4分
且对恒成立， ------5分
∵（*） --------------6分
①若，令，得极值点，当，即时，在上有， --------------7分
此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；，也不合题意； -----------------8分
②若，则有，此时在区间上恒有，
从而在区间上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只需满足，所以. -----------------9分
又因为在上是减函数.
，所以.
综合可知的取值范围是. -----------------10分
另解：（接在（*）号后）
先考虑， ，--------------8分
在上递减，只要，即，解得.-----------7分
而对，且有. --------8分
只要，即，解得，所以，--------9分
即的取值范围是.
22．选修4-1：几何证明选讲
证明：（方法一）因为
所以
所以CB为⊙O的切线 2分
所以EB2=EF·FA 5分
连结OD，因为AB=BC
所以
所以
在四边形BODE中，
所以BODE为矩形 7分
所以
即
所以 10分
（方法二）因为
所以，所以CB为⊙O的切线 2分
所以EB2=EF·FA 5分
连结BD，因为AB是⊙O的直径，
所以
又因为AB=BC，
所以AD=BD=DC。 7分
因为BC，所以BE=CE。
所以 10分
23．（Ⅰ） … 5分
（Ⅱ） … 10分
24．选修4-5：不等式选讲
解：(1).
(2)