四川省绵阳市三台县芦溪中学2012级高三上期第一次测试数学理科试题及答案

四川省绵阳市三台县芦溪中学2012级高三上期第一次测试
数 学 试 题（理科）
说明：本试题测试范围为高三数学选修Ⅱ，包括概率统计、极限、导数、复数，测试时间为120分钟，满分150分，请将全部解答写在答卷上．祝你考试成功！
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确．
1．已知复数，为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．函数y=的单调递增区间为
A． B．∪ C． D．
3．若,则实数a的值为
A．0 B．－1 C．1 D．
4．曲线y=x5+3x2+4x在x=－1处的切线的倾斜角是
A．－ B． C． D．
5．函数f（x）=x3－ax2－bx+a2在x=1时有极值10,则a、b的值为
A． B． C． D．以上都不对
6．已知，下面结论正确的是
A．在处连续 B． C． D．
7．函数f（x）=x3－3x+1,x∈［－3,0］的最大值、最小值分别是
A．1,－1 B．1,－17 C．3, －17 D．9,－19
8．数列{an}中，a1=1,Sn 是前n项和．当n≥2时，an=3Sn,则的值是
A．－2 B．－ C．1 D．－
9．2+2i的平方根是
A．+i B．±i C．±+i D．±（+i）
10．如果命题p(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是
A．p(n)对所有正整数n都成立
B．p(n)对所有正偶数n都成立
C．p(n)对所有正奇数n都成立
D．p(n)对所有自然数n都成立
11．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时, ＞0,且g（3）=0．则不等式f（x）g（x）>0的解集是
A．（-3,0）∪（3,+∞） B．（-3,0）∪（0, 3）
C．（-∞,- 3）∪（3,+∞） D．（-∞,- 3）∪（0, 3）
12．右图是正态分布的正态曲线，现有：①，②，③，这三个式子能表示图中阴影部分面积的是
A．①② B．②③ C．①③ D． ①②③
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．垂直于直线2x－6y+1=0且与曲线y=x3+3x2－1相切的直线方程的一般式是__________．
14．我市某电器公司，生产、、三种不同型号的电器产品，这三种电器产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，若样本中E型产品有24件，则 ．
15．若存在，则常数a的取值范围是__________．
16．函数f（x）=2x3+3x2－12x－5,则函数f（x）的单调增区间是__________．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）设函数
（Ⅰ）在x=0，x=3处函数是否连续；
（Ⅱ）画出函数的图象；
（Ⅲ）求函数的连续区间．
18．（本题满分12分）甲、乙两人独立解某一道数学题，已知甲独立解出的概率为0．6，且两人中至少有一人解出的概率为0．92．
（I）求该题被乙独立解出的概率；
（II）求解出该题的人数的分布列与数学期望．
19．（本小题满分12分）用数学归纳法证明：
1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)．
20．（本小题满分12分）设的极小值是，其导函数的图象如图所示．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若对任意的都有恒成立，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分．）已知函数，其中实数．
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在处取得极值，试讨论的单调性．
22．（本小题满分14分）设．
（I）当时，试确定函数的单调区间；
（II）若对任何的取值范围．
三台县芦溪中学2012级高三第一次测试
数学试题（理科）参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A B C D D C B D B A C
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13． 3x+y+2=0 14．120 15．a≥1或a＜－ 16．（－∞,－2），（1,+∞）
提示：=6x2+6x－12,令f′（x）＞0,得6x2+6x－12＞0,解得x＜－2或x＞1,即函数f（x）的单调增区间是（－∞,－2）和（1,+∞）．答案:（－∞,－2），（1,+∞）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（Ⅰ），
，处连续 ，
同理处连续；…………………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）图略；………………………………………………………………………………（8分）
（Ⅲ）连续区间为（－∞，+∞）．……………………………………………………（12分）
18．解：（1）设甲、乙分别解出此题的事件为A、B，则P（A）=0．6
解得…………………………………………………………（4分）
（2）可取0，1，2. 则=0.4×0.2=0.08,
∴的分布列为：
∴E=0×0．08+1×0．44+2×0．48=1．4． ……………………………………（12分）
19．证明：(1)当n＝2时，1＋＝＜2－＝，命题成立．…………………（2分）
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，命题成立，即1＋＋＋…＋＜2－．
则当n＝k＋1时，1＋＋…＋＋＜2－＋＜2－＋
＝2－＋－＝2－．
所以当n＝k＋1时命题也成立．……………………………………………………（10分）
由(1)(2)知原不等式对n≥2的一切正整数的成立．………………………………（12分）
20．解：（Ⅰ）,
．
∴．……………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）对任意的都恒成立,
对任意的都恒成立,
令，则=，
令，解得，，当变化时，的变化情况如下表：
x 1 （1，e） e
+ 0 － 0 +
极大值 极小值－6
∵，∴在处取得的最小值，，∴．…………………………………………………… (12分)
21．解：（Ⅰ）．
当时，，而，因此曲线在点处的切线方程为即．………………（6分）
（Ⅱ），由（Ⅰ）知，
即，解得．此时，其定义域为，且，由得．当或时，；当且时，．
由以上讨论知，在区间上是增函数，在区间上是
减函数． …………………………………………………………………………………（12分）
22． 解：（I）当 因为
所以上为增函数；………………………………………………………（2分）
当………………………………（3分）
由　由
所以上为减函数，
综上，，减区间为 ．………………………（6分）
（II）当时，由，得
设，所以（当且仅当时取等号），所以当有最大值-3，
因为对任何恒成立，所以……………………（10分）
当得
设所以当时，
因为对任何恒成立,
所以 ……………………………………………………………………………（13分）
综上，实数 …………………………………………（14分）
y
1
O
x
0 1 2
P 0．08 0．44 0．48