圆的方程单元复习（2012年9月）
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圆的方程单元复习
兴化市沙沟高级中学 蒙前勇
本单元主要内容是圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系。
圆的标准方程和一般方程各有特点，互相补充，在运用时应合理选择，以简化运算。
直线与圆、圆与圆的位置关系主要通过几何特征来判断。
1、掌握圆的标准方程和一般方程的特点；
2、能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径；
3、能用待定系数法由已知条件求出圆的方程，善于利用圆的几何性质简化运算；
4、通过本单元的学习，进一点掌握配方法和待定系数法。
1、圆的方程、直线与圆的关系、圆与圆的位置关系；
2、用待定系数求圆的方程。
1、用待定系数法求圆的方程；
2、利用圆的几何性质发现等量关系。
(一)基础知识
1、圆的方程：
(1)圆的标准方程
①圆心在原点，半径为的圆的方程为。
特别地，圆心在原点且半径为1的圆通常称为单位圆，其方程为。
②以为圆心，为半径的圆的标准方程为。
(2)圆的一般方程
圆的一般方程为，其中，其圆心坐标为，半径为。
2、直线与圆的位置关系的判断：
(1)几何法：设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则：
①直线与圆相交；
②直线与圆相切；
③直线与圆相离。
(2)代数法：联立直线与圆的方程，消去或，设所得一元二次方程的判别式为，则：
①直线与圆相交；
②直线与圆相切；
③直线与圆相离。
(3)圆的弦长的求法
利用弦长的一半、弦心距及半径构成的直角三角形来求，即 。
3、圆与圆的位置关系的判断：
设两圆的半径分别为，，圆心距为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
(1)当时，圆与圆相离；
(2)当时，圆与圆外切；
(3)当时，圆与圆相交；
(4)当时，圆与圆内切；
(5)当时，圆与圆内含。
4、点与圆的位置关系的判断：
设点，圆，则：
(1)当>，点在圆外；
(2)当=，点在圆上；
(3)当<，点在圆内。
（二）热身训练
1、圆的圆心坐标为，半径为。
2、过点可以作无穷多条直线与圆相交，则实数的取值范围为。
3、过点，且与直线都相切的圆的方程为或。
4、圆和圆的交点坐标为。
(三)例题分析
例1、求过点且与圆切于原点的圆的方程．
分析：如图，所求圆经过原点和，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程 ．
解：圆，则圆心为，半径为．
所以经过此圆心和原点的直线方程为．
设所求圆的方程为．
则有，
于是所求圆的方程是．
思考：本题还有其他解法吗？
(圆心在以为端点的线段的中垂线上)
例2、已知圆，。
(1)求证：对于任意实数，该圆恒过一定点；
(2)求证：对任意实数，该圆的圆心在直线上。
证明：(1)将圆的方程整理得
则解得
所以该圆恒过定点。
(2)因为圆的圆心坐标为
所以
所以对任意实数，该圆的圆心在直线上。
例3、已知圆和圆。
(1)证明两圆相切，并求过切点的公切线方程；
(2)求过点，且与两圆相切于上述切点的圆的方程。
解：(1)由题意得，圆
所以，半径为，，半径为
因为
所以两圆外切，设其切点为T，易知
所以过点T的公切线方程为
(2)以点与为端点的线段的中垂线方程为
令得
所以圆心坐标为，半径为5
故所求的圆的方程为
（四）归纳小结
涉及到圆的有关问题，要善于利用圆的几何性质解题。
（五）布置作业。
1、如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上。
（1）求边所在直线的方程；
（2）求矩形外接圆的方程；
解：（1）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为．
．
（2）由解得点的坐标为，
因为矩形两条对角线的交点为．
所以为矩形外接圆的圆心．
又．
从而矩形外接圆的方程为．
2、圆内一点。过点P的直线的倾斜角为，直线交圆于A、B两点。
(1)当时，求弦长|AB|；
(2)当弦被点P平分时求直线的方程。
解：(1)；(2)。
教材分析
教学目标
教学重点
教学难点
教学过程
兴化市沙沟高级中学 蒙前勇
本单元主要内容是圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系。
圆的标准方程和一般方程各有特点，互相补充，在运用时应合理选择，以简化运算。
直线与圆、圆与圆的位置关系主要通过几何特征来判断。
1、掌握圆的标准方程和一般方程的特点；
2、能将圆的一般方程转化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径；
3、能用待定系数法由已知条件求出圆的方程，善于利用圆的几何性质简化运算；
4、通过本单元的学习，进一点掌握配方法和待定系数法。
1、圆的方程、直线与圆的关系、圆与圆的位置关系；
2、用待定系数求圆的方程。
1、用待定系数法求圆的方程；
2、利用圆的几何性质发现等量关系。
(一)基础知识
1、圆的方程：
(1)圆的标准方程
①圆心在原点，半径为的圆的方程为。
特别地，圆心在原点且半径为1的圆通常称为单位圆，其方程为。
②以为圆心，为半径的圆的标准方程为。
(2)圆的一般方程
圆的一般方程为，其中，其圆心坐标为，半径为。
2、直线与圆的位置关系的判断：
(1)几何法：设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则：
①直线与圆相交；
②直线与圆相切；
③直线与圆相离。
(2)代数法：联立直线与圆的方程，消去或，设所得一元二次方程的判别式为，则：
①直线与圆相交；
②直线与圆相切；
③直线与圆相离。
(3)圆的弦长的求法
利用弦长的一半、弦心距及半径构成的直角三角形来求，即 。
3、圆与圆的位置关系的判断：
设两圆的半径分别为，，圆心距为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
(1)当时，圆与圆相离；
(2)当时，圆与圆外切；
(3)当时，圆与圆相交；
(4)当时，圆与圆内切；
(5)当时，圆与圆内含。
4、点与圆的位置关系的判断：
设点，圆，则：
(1)当>，点在圆外；
(2)当=，点在圆上；
(3)当<，点在圆内。
（二）热身训练
1、圆的圆心坐标为，半径为。
2、过点可以作无穷多条直线与圆相交，则实数的取值范围为。
3、过点，且与直线都相切的圆的方程为或。
4、圆和圆的交点坐标为。
(三)例题分析
例1、求过点且与圆切于原点的圆的方程．
分析：如图，所求圆经过原点和，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程 ．
解：圆，则圆心为，半径为．
所以经过此圆心和原点的直线方程为．
设所求圆的方程为．
则有，
于是所求圆的方程是．
思考：本题还有其他解法吗？
(圆心在以为端点的线段的中垂线上)
例2、已知圆，。
(1)求证：对于任意实数，该圆恒过一定点；
(2)求证：对任意实数，该圆的圆心在直线上。
证明：(1)将圆的方程整理得
则解得
所以该圆恒过定点。
(2)因为圆的圆心坐标为
所以
所以对任意实数，该圆的圆心在直线上。
例3、已知圆和圆。
(1)证明两圆相切，并求过切点的公切线方程；
(2)求过点，且与两圆相切于上述切点的圆的方程。
解：(1)由题意得，圆
所以，半径为，，半径为
因为
所以两圆外切，设其切点为T，易知
所以过点T的公切线方程为
(2)以点与为端点的线段的中垂线方程为
令得
所以圆心坐标为，半径为5
故所求的圆的方程为
（四）归纳小结
涉及到圆的有关问题，要善于利用圆的几何性质解题。
（五）布置作业。
1、如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上。
（1）求边所在直线的方程；
（2）求矩形外接圆的方程；
解：（1）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为．
．
（2）由解得点的坐标为，
因为矩形两条对角线的交点为．
所以为矩形外接圆的圆心．
又．
从而矩形外接圆的方程为．
2、圆内一点。过点P的直线的倾斜角为，直线交圆于A、B两点。
(1)当时，求弦长|AB|；
(2)当弦被点P平分时求直线的方程。
解：(1)；(2)。
教材分析
教学目标
教学重点
教学难点
教学过程