(共25张PPT)
2012年9月25日
思考1：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律
注意：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，
是函数的局部性质。
问题1
画出f(x)=x的图像，并观察其图像。
2、在区间 ________上，随着x的增大，f(x)的值随着 ______.
o
5
-5
-5
5
f(x)=x
1、从左至右图象上升还是下降 ____
上升
增大
1、在区间 ________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ______.
问题2
画出 的图像，并观察图像.
o
5
-5
-5
5
2、 在区间 ________ 上，f(x)的值随着x的增大而 _____.
(-∞,0]
(0,+∞)
减小
增大
二、新知探究
解析法
图像法
通俗语言：在区间（0，+∞）上， 随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。
数学语言：在区间（0，+∞）上，任取 ，得
当 时，有 。
这时我们就说函数 在区间（0，+∞）上是增函数
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
f(x) … 16 9 4 1 0 1 4 9 16 …
列表法
如何描述函数图像的“上升”“下降”呢？
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
x
·
·
·
·
在区间I内 在区间I内
图象 y=f(x) y=f(x)
图象特征
数量 特征
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
x
·
·
·
·
在区间I内 在区间I内
图象 y=f(x) y=f(x)
图象特征 从左至右，图象上升
数量 特征
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
x
·
·
·
·
在区间I内 在区间I内
图象 y=f(x) y=f(x)
图象特征 从左至右，图象上升
数量 特征 y随x的增大而增大
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
x
·
·
·
·
在区间I内 在区间I内
图象 y=f(x) y=f(x)
图象特征 从左至右，图象上升 从左至右，图象下降
数量 特征 y随x的增大而增大
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
x
·
·
·
·
在区间I内 在区间I内
图象 y=f(x) y=f(x)
图象特征 从左至右，图象上升 从左至右，图象下降
数量 特征 y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
0
y
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
x
·
·
·
·
在区间I内 在区间I内
图象 y=f(x) y=f(x)
图象特征 从左至右，图象上升 从左至右，图象下降
数量 特征 y随x的增大而增大
当x1＜x2时， f(x1) < f(x2) y随x的增大而减小
y
y
0
x1
x2
f(x2)
f(x1)
x
·
·
f(x2)
f(x1)
0
x1
x2
x
·
·
在区间I内 在区间I内
图象 y=f(x) y=f(x)
图象特征 从左至右，图象上升 从左至右，图象下降
数量 特征 y随x的增大而增大
当x1＜x2时， f(x1) < f(x2) y随x的增大而减小
当x1＜x2时， f(x1) > f(x2)
那么就说在f(x)这个区间上是单调
减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.
O
x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
由此得出单调增函数和单调减函数的定义.
x
O
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于属于定义域A内某个区间I，
x1,x2 I
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于属于定义域A内某个区间I上
x1,x2 I
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，I称为f(x)的单调 区间.
增
当x1<
当x1<
>
单调区间
1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.
2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x2) ，则函数f(x)分别是增函数或减函数.
注意
在某区间上，
减函数
图象下降。
增函数
图象上升
x
y
o
x
y
o
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
函数的单调性定义
例1：下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，
根据图像说出函数的单调区间以及每一单调
区间上，它是增函数还是减函数？
解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)是减函数，
在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。
例2. 写出单调区间
x
y
_____________
,
讨论1：
？
不能
——数形结合的思想
要了解某函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用的方法，但这种方法比较粗略。严格地 说，它还需要进行证明。
（4）若函数 f(x)在其定义域内的两个区间A,B上都是增(或减）函数一般不能简单认为f(x)在A∪B上是增（减）函数
y
o
x
o
y
x
y
o
x
在(-∞,+∞)是减函数
在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数
在
增函数
在
减函数
y
o
x
y
o
x
y
o
x
在(-∞,+∞)是增函数
在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数
在
增函数
在
减函数
例2 物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大,试用函数单调性证明之.
分析：按题意就是证明函数 在区间 上是减函数.
证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1由V1，V2∈ (0，+∞)且V10, V2- V1 >0
又k>0,于是
所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.
取值
定号
作差变形
下结论
用定义证明函数单调性的步骤是：
（1）取值
（2）作差变形
（3）定号
即取 是该区间内的任意两个值且
即求 ，通过因式分解、配方、有理化等方法
即根据给定的区间和 的符号的确定
的符号
（4）下结论
即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性．
例３ 求证：函数 在区间 上是单调增函数．
，则
证明：在区间（0，+∞）上任取两个值 且
又因为 ， ，所以说
即函数 在区间（0，+∞）上是单调增函数.
2012年9月30日
以勒中学 余贵杨(共25张PPT)
1.3.1 单调性与最大(小)值
(第2课时 函数的最大值、最小值)
制作者 余贵杨
2012年9月30日
下列两个函数的图象：
图1
o
x0
x
M
y
y
x
o
x0
图2
M
观 察
观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？
思考
课题引入
设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，
则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小
关系如何？
思考
f(x)< M
(0)=1
2、存在0，使得 (0)=1.
1、对任意的 都有 (x)≤1.
1是此函数的最大值
x
f(x)
O
1
2
知识要点
M是函数y= f (x)的最大值（maximum value）：
一般地，设函数y= f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的x ∈I，都有f (x) ≤M;
（2）存在 ，使得 .
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足：
（1）对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M;
（2）存在 ，使得 ，
那么我们称M是函数y=f(x)的最小值（minimun value）.
能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义呢？
思考
函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？
思考
是
如果在函数f(x)定义域内存在x1和 x2，使对定义域内任意x都有 成立，由此你能得到什么结论？如果函数f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函数f(x)的值域是[a，b]吗？
思考
函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.
探究:函数单调性与函数的最值的关系
（1）若函数y=f (x)在区间[m，n] (mO
x
y
当x=m时，f (x)有最小值f (m)，当x=n时,f (x)有最大值f (n).
(2)若函数y=f(x)在区间[m，n]上单调递减，则函数y=f(x)的最值是什么？
O
x
y
当x=m时，f (x)有最大值f (m)，当x=n时，f(x)有最小值f (n).
(3)若函数 则函数y=f(x)在区间[m,n]上的最值是什么？
O
x
y
最大值f (l)=h，有最小值f (m), f (n)中较小者.
课本实例3
解：做出函数 的图像。显然，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.
o
t
h
4
3
2
1
5
10
15
20
由二次函数的知识，对于函数
，我们有
当 时，函数有最大值
所以，烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻，此时距离地面的高度约为29m.
分析：由函数的图象可知道，此函数在[3，5]上递减。所以在区间[3，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值.
解：设 是区间[3，5]上的任意两个实数，且 ，则
例5 已知函数 ，求函数的最大值与最小.
类似课本实例4
1
y
2
4
6
x
1/3
0
由于 得
于是
即
所以，此函数在区间[3,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值即在x=3时取得最大值是1，在x=5时取得最小值为0.5.
注意：这是一道利用单调性求函数的最值问题的典型题例，学生应注意掌握此法。
课堂小结
1、函数的最值：
最大值
最小值
2、函数的最值的求法
（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最值;
（2）利用图象求函数的最值;
（3）利用函数单调性求函数的最值 .
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象，指出它的最大值、最小值．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①所给函数解析式未知；
②函数图象已知．
解答本题可根据函数最值定义和最值的几何意义求解．
【解析】 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1，－3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值，最小值是－3
课堂实训
由函数图象找出函数的单调区间是求函数单调区间和最值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单且图象易作出的函数求最值较常用．
其图象如右图所示，显然函数值y≥3，所以函数有最小值3，无最大值．
(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．
(2)函数的最值与单调性的关系
①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．
求二次函数f(x)＝x2－6x＋4在区间[－2,2]上的最大值和最小值．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息：
①所给函数为二次函数；
②在区间[－2,2]上求最值．
解答本题可先确定函数在区间[－2,2]上的单调性，再求最值．
【解析】 f(x)＝x2－6x＋4＝(x－3)2－5，
其对称轴为x＝3，开口向上，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数，
∴f(x)min＝f(2)＝－4，f(x)max＝f(－2)＝20.
在求二次函数的最值时，要注意定义域．定义域若是区间[m，n]，则最大(小)值不一定在顶点处取得，而应看对称轴是在区间[m，n]内还是在区间左边或右边，在区间的某一边时应该利用函数单调性求解．
