2.4 课时3 抛物线的实际问题 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
第二章 二次函数
4 二次函数的应用
课时3 抛物线的实际问题
1.实际中二次函数模型的建立
2.求实际中“抛物线”型的最值问题. （重点、难点）
学习目标
新课导入
前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题，实际问题中最值问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、隧道、以及一些运动类的“抛物线”型问题.
新课讲解
知识点1 实际中二次函数模型的建立
1．运用二次函数的代数模型解决实际中的问题，如抛
(投)物体，抛物线的模型问题等，经常需要运用抽象
与概括的数学思想，将文字语言转化为数学符号．
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2．利用二次函数解决实际问题的基本思路是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式；
(4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题．
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例
典例分析
随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池（如图2-4-8），在水池中心竖直安装了一根高为2 m 的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1 m 处达到最高，水柱落地处离水池中心3 m.
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线对应的函数表达式.
（2）求水柱的最大高度是多少.
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解：
新课讲解

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练一练
河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数表达式为 y＝－ x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为(　　)
A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
C
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例
典例分析
某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如
图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线对应的函
数表达式为y＝－ x2＋c且过点C(0，5).(长度单位：m)
(1)直接写出c的值；
(2)现因做庆典活动，计划沿拱桥的
台阶表面铺设一条宽度为1.5 m的地
毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元；
(3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH(H，
G分别在抛物线的左右侧上)，并铺设斜面EG.已知矩形
EFGH的周长为27.5 m，求斜面EG的倾斜角∠GEF的度
数．(精确到0.1°)
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分析：(1)将点C的坐标代入计算即可；(2)首先应求出铺设
地毯的台阶的表面积，而求表面积的关键在于求得
所有台阶的水平和竖直的总长度，进而求得所需钱
数；(3)求出点G的坐标，在Rt△EFG中，利用三角
函数求∠GEF的度数．
解：(1)c＝5.
(2)由(1)知OC＝5.令y＝0，即－ x2＋5＝0，
解得x1＝10，x2＝－10.
∴地毯的总长度为AB＋2OC＝20＋2×5＝30(m)．
∴30×1.5×20＝900(元)．
∴购买地毯需要900元．
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(3)可设G的坐标为 其中a＞0，
则EF＝2a m，GF＝
由已知得2(EF＋GF)＝27.5 m，即2
解得a1＝5，a2＝35(不合题意，舍去)．当a＝5时，
＋5＝－ ×52＋5＝3.75，∴点G的坐标是(5，3.75)．
∴EF＝10 m，GF＝3.75 m.在Rt△EFG中，tan ∠GEF＝
0.375，∴∠GEF≈20.6°.
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知识点2 求实际中“抛物线”型的最值问题
例
典例分析
如图，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线型水流在与喷头底部A的距离为1 m处达到距离地面最大高度2.25 m，试建立恰当的直角坐标系并求出与该抛物线型水流对应的二次函数关系式．
新课讲解
分析：解决问题的关键是建立适当的平面直角坐标系，把
实际问题中的长度转化为点的坐标，从而利用待定
系数法求二次函数关系式．
新课讲解
解：方法一：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物
线的顶点为O(0，0)，且经过点B(－1，－1)．于是
设所求二次函数关系式为y＝ax2，
则有－1＝a·(－1)2，得a＝－1.
∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为y＝－x2.
新课讲解
方法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的
顶点为D(0，2.25)，且抛物线经过点B(－1，1.25)．于是
设所求二次函数关系式为y＝ax2＋2.25，则有1.25＝a·
(－1)2＋2.25，解得a＝－1.
∴抛物线型水流对应的二次函数关系式为y＝－x2＋2.25.
新课讲解
方法三：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的
顶点为D(1，2.25)，且经过点B(0，1.25)．于是设所求二
次函数关系式为y＝a(x－1)2＋2.25，则有1.25＝a(－1)2＋
2.25，解得a＝－1.∴抛物线型水流对应的二次函数关系
式为y＝－(x－1)2＋2.25.
新课讲解
练一练
某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平
地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，
水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：m)
的一部分，则水喷出的最大高度是(　　)
A．4 m
B．5 m
C．6 m
D．7 m
A
课堂小结
1.抛物线型建筑物问题：几种常见的抛物线型建筑
物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等．解决这类
问题的关键是根据已知条件选择合理的位置建立
直角坐标系，结合问题中的数据求出函数解析式，
然后利用函数解析式解决问题．
课堂小结
2.运动问题：(1)运动中的距离、时间、速度问题；
这类问题多根据运动规律中的公式求解．(2)物
体的运动路线(轨迹)问题；解决这类问题的思想
方法是利用数形结合思想和函数思想，合理建立
直角坐标系，根据已知数据,运用待定系数法求
出运动轨迹(抛物线)的解析式，再利用二次函数
的性质去分析、解决问题．
当堂小练
1.如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为 坐标原点时抛物线对应的函数表达式是y＝－ (x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时抛物线对应的函数表达式是______________________．
当堂小练
2.向上发射一枚炮弹，经x s后的高度为y m，且时间与高度之间的关系为y＝ax2＋bx.若此炮弹在第7 s与第14 s时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的(　　)
A．第9.5 s B．第10 s
C．第10.5 s D．第11 s
C
拓展与延伸
足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
拓展与延伸
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝ ；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
B