3.3 垂径定理 课件(共25张PPT)
文档属性
| 名称 | 3.3 垂径定理 课件(共25张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 556.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-21 21:45:43 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
第三章 圆
3 垂径定理
1.垂径定理
2.垂径定理的推论. （重点、难点）
学习目标
新课导入
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
你能找到多少条对称轴？
（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交
流.
新课讲解
知识点1 垂径定理
如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄 AB，垂
足为M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是 什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关
系？说一说你的理由.
新课讲解
定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
用几何语言表述为：
如图，在⊙O中，
新课讲解
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
D
O
C
A
E
B
D
O
C
A
E
B
图1
图2
图3
图4
O
A
E
B
D
O
C
A
E
B
新课讲解
例
典例分析
如图所示，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，
且CD=2 ，BD= ，则AB 的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
分析：连接OD，如图所示.
∵ CD ⊥ AB，CD=2 ，∴ CH=DH= .
在Rt △ BHD 中，由勾股定理，得BH=1.
设⊙ O 的半径为r，
在Rt △ OHD 中，OH2+HD2=OD2，即（r-1）2+（ ）2=r2.
解得r=
∴ AB=3.
B
新课讲解
例
典例分析
如图所示，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直线
AB 上两点，且AC=BD.
求证：△ OCD 为等腰三角形.
新课讲解
分析：
构建垂径定理的基本图形结合线段垂直平分线性质证明.
解：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，
∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM.
∵ AC=BD，∴ CM=DM.
又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD.
∴△ OCD 为等腰三角形.
新课讲解
练一练
1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的跨度(即弧所 对的弦长)为37.4 m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2 m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1).
新课讲解
解：
如图，∵OD⊥AB，
∴AD＝ AB＝ ×37.4＝18.7(m)．
在Rt△ODA中，
OD＝(R－7.2) m，OA＝R m，
∴R2＝(R－7.2)2＋18.72，
解得R≈27.9.
∴桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
新课讲解
如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中错误的是( )
A．CE＝DE
B．AE＝OE
C.
D．△OCE≌△ODE
B
新课讲解
知识点2 垂径定理的推论
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直
径CD)， 交AB于点M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
新课讲解
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的弧.
新课讲解
推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的弧，即：如图，在⊙O中，
新课讲解
即：如图，在⊙O中，
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平
分弦所对的另一条弧，即：如图，在⊙O中，
新课讲解
例
典例分析
如图所示，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N 分别为AB，CD的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证：AB=CD.
新课讲解
解：
连接OM，ON，OA，OC.
∵ O 为圆心，且M，N 分别为AB，CD 的中点，
∴ AB=2AM，CD=2CN，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD.
∴∠ OMA= ∠ ONC=90° .
∵∠ AMN= ∠ CNM，
∴∠ OMN= ∠ ONM. ∴ OM=ON.
又∵ OA=OC，
∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN（HL）.
∴ AM=CN.
∴ AB=CD.
新课讲解
例
典例分析
如图, —条公路的转弯处是一段圆弧（即 图中 ,点O是 所在圆的圆心），其中CD= 600m， E为 上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.
新课讲解
连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF= (R- 90) m.
∵OE ⊥CD，∴ CF = CD = ×600 = 300 (m).
在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，
即R2 = 3002 + (R-90)2.
解这个方程，得R=545.
所以，这段弯路的半径为545 m.
解：
新课讲解
练一练
如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM
＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为( )
A．8 cm
cm
C．6 cm
D．2 cm
A
课堂小结
垂径定理：
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
(2)关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具备以下五个性质：
①直线过圆心；
②直线垂直于弦；
③直线平分弦(不是直径)；
④直线平分弦所对的优弧；
⑤直线平分弦所对的劣弧．
如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，组成的命题都是真命题．
当堂小练
1.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为( )
A．3
B．2.5
C．4
D．3.5
C
当堂小练
2.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( )
A．2 m
B．2.5 m
C．2.4 m
D．2.1 m
B
拓展与延伸
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，则下列结论：①∠COE＝∠DOE；②CE＝DE；③BC＝BD；④OE＝BE.其中，一定正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
第三章 圆
3 垂径定理
1.垂径定理
2.垂径定理的推论. （重点、难点）
学习目标
新课导入
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
你能找到多少条对称轴？
（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交
流.
新课讲解
知识点1 垂径定理
如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄 AB，垂
足为M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是 什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关
系？说一说你的理由.
新课讲解
定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
用几何语言表述为：
如图，在⊙O中，
新课讲解
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
D
O
C
A
E
B
D
O
C
A
E
B
图1
图2
图3
图4
O
A
E
B
D
O
C
A
E
B
新课讲解
例
典例分析
如图所示，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，
且CD=2 ，BD= ，则AB 的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
分析：连接OD，如图所示.
∵ CD ⊥ AB，CD=2 ，∴ CH=DH= .
在Rt △ BHD 中，由勾股定理，得BH=1.
设⊙ O 的半径为r，
在Rt △ OHD 中，OH2+HD2=OD2，即（r-1）2+（ ）2=r2.
解得r=
∴ AB=3.
B
新课讲解
例
典例分析
如图所示，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直线
AB 上两点，且AC=BD.
求证：△ OCD 为等腰三角形.
新课讲解
分析：
构建垂径定理的基本图形结合线段垂直平分线性质证明.
解：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，
∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM.
∵ AC=BD，∴ CM=DM.
又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD.
∴△ OCD 为等腰三角形.
新课讲解
练一练
1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的跨度(即弧所 对的弦长)为37.4 m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2 m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1).
新课讲解
解：
如图，∵OD⊥AB，
∴AD＝ AB＝ ×37.4＝18.7(m)．
在Rt△ODA中，
OD＝(R－7.2) m，OA＝R m，
∴R2＝(R－7.2)2＋18.72，
解得R≈27.9.
∴桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
新课讲解
如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中错误的是( )
A．CE＝DE
B．AE＝OE
C.
D．△OCE≌△ODE
B
新课讲解
知识点2 垂径定理的推论
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直
径CD)， 交AB于点M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
新课讲解
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的弧.
新课讲解
推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的弧，即：如图，在⊙O中，
新课讲解
即：如图，在⊙O中，
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平
分弦所对的另一条弧，即：如图，在⊙O中，
新课讲解
例
典例分析
如图所示，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N 分别为AB，CD的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证：AB=CD.
新课讲解
解：
连接OM，ON，OA，OC.
∵ O 为圆心，且M，N 分别为AB，CD 的中点，
∴ AB=2AM，CD=2CN，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD.
∴∠ OMA= ∠ ONC=90° .
∵∠ AMN= ∠ CNM，
∴∠ OMN= ∠ ONM. ∴ OM=ON.
又∵ OA=OC，
∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN（HL）.
∴ AM=CN.
∴ AB=CD.
新课讲解
例
典例分析
如图, —条公路的转弯处是一段圆弧（即 图中 ,点O是 所在圆的圆心），其中CD= 600m， E为 上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.
新课讲解
连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF= (R- 90) m.
∵OE ⊥CD，∴ CF = CD = ×600 = 300 (m).
在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，
即R2 = 3002 + (R-90)2.
解这个方程，得R=545.
所以，这段弯路的半径为545 m.
解：
新课讲解
练一练
如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM
＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为( )
A．8 cm
cm
C．6 cm
D．2 cm
A
课堂小结
垂径定理：
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
(2)关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具备以下五个性质：
①直线过圆心；
②直线垂直于弦；
③直线平分弦(不是直径)；
④直线平分弦所对的优弧；
⑤直线平分弦所对的劣弧．
如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，组成的命题都是真命题．
当堂小练
1.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为( )
A．3
B．2.5
C．4
D．3.5
C
当堂小练
2.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是( )
A．2 m
B．2.5 m
C．2.4 m
D．2.1 m
B
拓展与延伸
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，则下列结论：①∠COE＝∠DOE；②CE＝DE；③BC＝BD；④OE＝BE.其中，一定正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C