1.4 解直角三角形 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
4 解直角三角形
解直角三角形（重点、难点）
学习目标
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(2)两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
(3)边角之间的关系
(1)三边之间的关系
A
B
a
b
c
C
在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素.
图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形的五个元素.
锐角三角函数
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A
B
a
b
c
C
解直角三角形：
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形．
一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素(其中必须有一个元素是边)，则这样的直角三角形可解.
新课讲解
知识点1 解直角三角形
在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？
类型1 已知两边解直角三角形
新课讲解
(1)三边之间的关系；
(2)两锐角之间的关系；
(3)边角之间的关系：sin A＝ ＝cos B，
cos A＝ ＝sin B，
tan A＝
新课讲解
应用勾股定理求斜边，
应用角的正切值求出
一锐角，再利用直角
三角形的两锐角互余，求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度．
已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．
已知两直角边：
已知斜边和直角边：
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例
典例分析
1. 根据下列所给的条件解直角三角形，不能求解的是（ ）
①已知一直角边及其对角；
②已知两锐角；
③已知两直角边；
④已知斜边和一锐角；
⑤已知一直角边和斜边 .
A. ②③ B. ②④ C. 只有② D. ②④⑤
新课讲解
典例分析
紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行解答 .
分析：
①能够求解；②不能求解；③能够求解；④能够求解；⑤能够求解 .
解：
C
答案：
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例
典例分析
2. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C
的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角
形的其他元素．(角度精确到1′)
分析：求这个直角三角形的其他元素，与“解这个直角三角
形”的含义相同．求角时，可以先求∠A，也可以先
求∠B，因为 ＝sin B＝cos A.
新课讲解
典例分析
由c＝5，b＝4，得sin B＝ ＝0.8，
∴∠B≈53°8′.
∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.
由勾股定理得
解：
新课讲解
练一练
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2 ，AC＝ ，
则∠A的度数为(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
D
新课讲解
练一练
2 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是(　　)
A．计算tan A的值求出
B．计算sin A的值求出
C．计算cos A的值求出
D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出
C
新课讲解
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角
形时，若已知一直角边a和一锐角A： ① ∠B=90 °-
∠ A；②c=
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
②a=c·sin A ; ③b=c·cos A.
类型2 已知一边及一锐角解直角三角形
新课讲解
例
3. 在Rt△ABC，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分
别为a，b，c， 且b = 30, ∠B = 25°求这个三角形的其他
元素（边长精确到1).
解： 在沿Rt△ABC，∠C=90°，∠B = 25°
∴∠A=65°.
∵
∴
∵
∴
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例
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
解：已知∠A，可根据∠B＝90°－∠A得到∠B的大小．而
已知斜边，必然要用到正弦或余弦函数．
∵∠A＝26°44′，∠C＝90°，
∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.
由sin A＝ 得a＝c·sin A＝100·sin 26°44′≈44.98.
由cos A＝ 得b＝c·cos A＝100·cos 26°44′≈89.31.
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练一练
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(　　)
A. B．4
C．8 D．4
D
新课讲解
2. 在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，
则a等于(　　)
A.
B.
C．6
D.
B
新课讲解
5. 根据下列条件，解直角三角形：
（1）在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=30°， b=12；
（2）在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=60°， c=6.
类型3 已知一边及一锐角的三角函数值解直角三角形
典例分析
例
新课讲解
分析：紧扣以下两种思路去求解 .
（1）求边时，一般用未知边比已知边（或已知边比未知边），去找已知角的某一个锐角三角函数 .
（2）求角时，一般用已知边比已知边，去找未知角的某一个锐角三角函数 .
新课讲解
（ 1）在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=30°，
∴∠ B=90° - ∠ A=60° .
∵ tan A= ∴
∴ a=
解：
新课讲解
（ 2）在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=60°，
∴∠ B=90° - ∠ A=30° .
∵ sin A= ∴
∴
由勾股定理得
课堂小结
在直角三角形中有三条边、三个角，它们具备以下关系：
（1）三边之间关系：a2+b2=c2 (勾股定理）.
（2）锐角之间的关系：∠A+ ∠B = 90°.
（3）边角之间的关系：
当堂小练
在Rt△ABC中， ∠C＝90° ， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a, b, c，根据下列条 件求出直角三角形的其他元素（角度精确到1° ):
(1) 已知 a = 4, b =8;
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得c＝ ＝ .
∵sin A＝ ＝ ＝ ， ∴∠A≈27°.
∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°－∠A≈63°.
当堂小练
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°.
∵sin B＝ ，b＝10，
∴c＝ ＝ ＝ .
由勾股定理得a＝ ＝ .
(2) 已知 b =10， ∠B＝60°;
当堂小练
(3) 已知 c =20， ∠A＝60°;
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°.
∵sin A＝ ，c＝20，
∴a＝c·sin A＝20×sin 60°＝20× ＝ .
由勾股定理得b＝ ＝10.
D
拓展与延伸
在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，求tanA，cosA的值．
在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴AC＝
∴tan A
解：