1.3.1_函数的单调性与导数课件_新人教A版选修2-2

(共43张PPT)
1．3　导数在研究函数中的应用
1．3.1　函数的单调性与导数
1．由导数的几何意义可知，函数f(x)在x0的导数f′(x0)即f(x)的图象在点(x0，f(x0))的切线的斜率，在x＝x0处f′(x0)＞0，则切线的斜率k＝f′(x0)＞0，若在区间(a，b)内每一点(x0，f(x0))都有f′(x0)＞0，则曲线在该区间内是上升的．反之若在区间(a，b)内，f′(x)＜0，则曲线在该区间内是下降的．
因此当区间(x1，x2)很小时，平均变化率可近似表示函数y＝f(x)在这个区间内的单调性．
3．如果函数f(x)在点x0附近，当x＜x0时f′(x)＜0，当x＞x0时f′(x)＞0，则点(x0，f(x0))我们称作临界点，通过画图你能观察出f(x0)与临近点函数值的大小关系吗？同样当x＜x0时，f′(x)＞0，当x＞x0时，f′(x)＜0，再画图观察f(x0)的值与邻近点的函数值之间有何关系？
4．我们注意到f(x)＝2x、g(x)＝3x、f′(x)＝2、g′(x)＝3有f′(x)＜g′(x)，画图可见，g(x)与f(x)都是增函数，但g(x)比f(x)增长的快得多．自己再观察几个函数导数值的大小关系，你会发现，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间上或某点附近变化的快慢程度，导数绝对值越大，函数增长(f′(x)＞0)或减少(f′(x)＜0)的越快．
1．函数y＝f(x)在区间(a，b)内的单调性与导数的关系
如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内 ；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内 ．如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内为 ．
2．求函数单调区间的步骤
(1)确定f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应区间上是 ；当f′(x)＜0时，f(x)在相应区间上是 ．
单调递增
单调递减
常数函数
增函数
减函数
[例1]　判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．
[解析]　∵y′＝3ax2，又x2≥0.
(1)当a>0时，y′≥0，函数在R上单调递增；
(2)当a<0时，y′≤0，函数在R上单调递减；
(3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．
[点评]　判断函数单调性的方法有两种：
(1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1(2)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③得出结论．
[解析]　(1)函数f(x)的定义域为R
f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0.
即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)
令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，
解得－1＜x＜1.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
[点评]　求函数单调区间时需注意：
1．步骤：
2．含有参数的函数求单调区间时注意正确运用分类讨论思想．
3．如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．
[解析]　(1)函数f(x)的定义域为R
f′(x)＝4x3－4x＝4x(x－1)(x＋1)
令f′(x)＞0，则4x(x－1)(x＋1)＞0，解得－1＜x＜0，或x＞1，
∴函数f(x)的单调递增区间为(－1,0)和(1，＋∞)，
令f′(x)＜0，则4x(x－1)(x＋1)＜0，解得x＜－1或0＜x＜1，
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)．
(2)函数f(x)的定义域为(0，π)
∵x∈(0，π)，∴cosx∈(－1,1)
∴f′(x)＝cosx－1＜0恒成立
∴函数f(x)＝sinx－x在(0，π)上是单调递减函数．
[例3]　已知x>1，求证：x>ln(1＋x)．
[点评]　此类题的解题步骤一般是：首先构造函数，然后再采用求导的方法证明．利用函数的单调性证明不等式也是证明不等式常用的方法．
已知：x>0，求证：x>sinx.
[证明]　设f(x)＝x－sinx(x>0)
f′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立
∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数
又f(0)＝0，∴f(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立
即：x>sinx(x>0)．
[例4]　已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．
[分析]　由向量的数量积和运算法则求函数f(x)的解析表达式，再f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立，求出t的范围．
[解析]　解法1：f(x)＝a·b＝x2(1－x)＋t(x＋1)
＝－x3＋x2＋tx＋t
f′(x)＝－3x2＋2x＋t
∵函数f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴f′(x)≥0在x∈(－1,1)上恒成立
∴－3x2＋2x＋t≥0在(－1,1)上恒成立
即t≥3x2－2x在(－1,1)上恒成立
令g(x)＝3x2－2x，x∈(－1,1)
故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立，只需t≥5，即所求t的取值范围为：t≥5.
解法2：依题意，得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)
＝－x3＋x2＋tx＋t
f′(x)＝－3x2＋2x＋t
∵函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数，
∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)恒成立
又∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线
∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝t－5≥0时，即t≥5时，f′(x)在区间(－1,1)上满足f′(x)＞0
使f(x)在(－1,1)上是增函数
故t的取值范围是t≥5.
[点评]　已知函数的单调性，确定字母的取值范围是高考考查的重点内容，解决这类问题的方法主要有两种，其一，转化为函数求最值，其二，若能比较容易求出函数的单调区间时，可利用子区间来解决．特别注意的是，若导函数为二次函数时，也可借助图象，利用数形结合思想来解决，如上例中的解法2.
[解析]　f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)[x－(a－1)]
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．
当a－1＞1，即a＞2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，
[例5]　f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是 (　　)
[分析]　导函数值的正负决定了函数的增减，导函数值增减决定了函数值变化的快慢．
[答案]　D
[解析]　由图可知，当b>x>a时，f′(x)>0，故在[a，b]上，f(x)为增函数．且又由图知f′(x)在区间[a，b]上先增大后减小，即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D.
[点评]　本题的关键是正确理解导函数与函数之间的关系．
如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是(　　)
[答案]　D
因为当0≤x<π时，f(x)＝x－sinx≤x，所以函数的图象在y＝x的下方；当π≤x≤2π时，f(x)＝x－sinx≥x，所以函数的图象在y＝x的上方．故选D.
一、选择题
1．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为 (　　)
A．(－∞，－1]和[0,1]
B．[－1,0]和[1，＋∞)
C．[－1,1]
D．(－∞，－1]和[1，＋∞)
[答案]　A
[解析]　y′＝4x3－4x
令y′<0，即4x3－4x<0
解得x<－1或02．函数y＝xlnx在区间(0,1)上是 (　　)
A．单调增函数
B．单调减函数
[答案]　C
3．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有 (　　)
A．f(x)＞0　　　　　 B．f(x)＜0
C．f(x)＝0 D．不能确定
[答案]　A
[解析]　∵在区间(a，b)内有f′(x)>0，且f(a)≥0，
∴函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，
∴f(x)>f(a)≥0.
二、填空题
4．函数y＝(x＋1)(x2－1)的单调减区间为________．
[答案]　－4
[解析]　因为f′(x)＝x2－3x＋a.
令x2－3x＋a≤0，由题意知x2－3x＋a≤0的解集恰为[－1,4]，
则由韦达定理知a＝－1×4＝－4.
三、解答题
6．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)证明f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．
[解析]　(1)由已知f′(x)＝3x2－a，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
∵3x2≥0，∴只需a≤0，
又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.
(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
得a≥3x2，在x∈(－1,1)恒成立．
∵－1当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3.
故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．
(3)证明：∵f(－1)＝a－2∴f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．
1．在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．
2．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．
3．注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．如f(x)＝x3是R上的可导函数，也是R上的单调递增函数，但当x＝0时，f′(x)＝0.