3.3 垂径定理 课件（共17张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.3 垂径定理 课件（共17张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 382.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-19 16:11:25 | ||
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文档简介
(共17张PPT)
第 三章 圆
第三章 圆
3.3 垂径定理
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
等腰三角形是轴对称图形吗？
如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？
如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？
知识回顾
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
条件
③AM=BM,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
结论
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
知识讲解
合作探究
连接OA,OB,则OA=OB.
●O
A
B
C
D
M└
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴ AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC = BC,
⌒
⌒
AD=BD.
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
几何语言
一、垂径定理
判断下列图形，能否使用垂径定理？
O
C
D
B
A
注意：定理中的两个条件缺一不可——
直径（半径），垂直于弦.
×
×
√
B
O
C
D
A
O
C
D
E
练一练
二、垂径定理的逆定理
如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
合作探究
●O
C
D
●M
A
B
③CD⊥AB,
●O
C
D
由 ① CD是直径
② AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
●M
A
B
平分弦（不是直径）的直径
垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
解:
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
思考
如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
O
C
D
B
A
E
O
D
C
F
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD,点0是CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为 F，EF=90m.求这段弯路的半径。
⌒
⌒
⌒
例
例题讲解
解这个方程，得R=545.
E
O
D
C
F
连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。
∵OE⊥CD
根据勾股定理，得
OC =CF +OF
即 R =300 +(R-90) .
所以，这段弯路的半径为545m.
解:
1、1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径。（结果精确到0.1米）。
随堂训练
2、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
O
C
D
B
A
O
C
D
B
A
O
C
D
B
A
有三种情况：1、圆心在平行弦外；
2、圆心在其中一条弦上；
3、圆心在平行弦内.
3.若⊙O中弦AB∥CD。
那么AC＝BD吗？为什
么？
⌒
⌒
解：AC＝BD，理由是：
作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM， CM＝DM（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）
∵AM－CM ＝ BM －DM
∴ AC＝ BD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
课堂小结
第 三章 圆
第三章 圆
3.3 垂径定理
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
等腰三角形是轴对称图形吗？
如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？
如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？
知识回顾
●O
A
B
C
D
M└
① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
条件
③AM=BM,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
结论
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
知识讲解
合作探究
连接OA,OB,则OA=OB.
●O
A
B
C
D
M└
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴ AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC = BC,
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⌒
AD=BD.
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
几何语言
一、垂径定理
判断下列图形，能否使用垂径定理？
O
C
D
B
A
注意：定理中的两个条件缺一不可——
直径（半径），垂直于弦.
×
×
√
B
O
C
D
A
O
C
D
E
练一练
二、垂径定理的逆定理
如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
合作探究
●O
C
D
●M
A
B
③CD⊥AB,
●O
C
D
由 ① CD是直径
② AM=BM
可推得
⌒
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④AC=BC,
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⑤AD=BD.
●M
A
B
平分弦（不是直径）的直径
垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
解:
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
思考
如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
O
C
D
B
A
E
O
D
C
F
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD,点0是CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为 F，EF=90m.求这段弯路的半径。
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例
例题讲解
解这个方程，得R=545.
E
O
D
C
F
连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。
∵OE⊥CD
根据勾股定理，得
OC =CF +OF
即 R =300 +(R-90) .
所以，这段弯路的半径为545m.
解:
1、1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径。（结果精确到0.1米）。
随堂训练
2、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
O
C
D
B
A
O
C
D
B
A
O
C
D
B
A
有三种情况：1、圆心在平行弦外；
2、圆心在其中一条弦上；
3、圆心在平行弦内.
3.若⊙O中弦AB∥CD。
那么AC＝BD吗？为什
么？
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解：AC＝BD，理由是：
作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM， CM＝DM（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）
∵AM－CM ＝ BM －DM
∴ AC＝ BD
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A
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垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
课堂小结