3.6 直线和圆的位置关系（第二课时） 课件（共26张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.6 直线和圆的位置关系（第二课时） 课件（共26张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 328.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-22 10:39:13 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
第 三章 圆
第三章 圆
3.6 直线和圆的位置关系
(第2课时)
学习目标
1.理解并掌握切线的判定定理,能够熟练运用切线的性质和判定解决有关的证明和计算.（重点）
2.了解三角形的内切圆的有关概念及性质并能灵活应用.（重点）
直线和圆相交
d r
d r
直线和圆相切
直线和圆相离
d r
相交
相切
相离
<
=
>
O
l
d
┐
r
ｏ
l
┐
d
r
Ｏ
l
┐
d
r
知识回顾
B
●O
A
l
┓
d
α
┏
d
α
d
┓
你能写出一个命题来表述这个事实吗
探究1 如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋转时, 圆心O到直线l的距离d如何变化？
知识讲解
一、圆的切线的判定
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
C
D
B
●O
A
∵AB是⊙O的直径,直线CD经过A点,且CD⊥AB,
∴ CD是⊙O的切线.
这个定理实际上就是
d=r 直线和圆相切
的另一种说法.
判定定理
例1.如图,AB是⊙O的直径, ∠ABT=45°,AT=BA．
求证:AT是⊙O的切线.
证明：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT=AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB=45°.由三角形内角和定理可证∠TAB=90°，即AT⊥AB，故AT是⊙O的切线．
A
T
B
O
例题讲解
1.如图,已知直线AB 经过⊙O上的点C, 并且AO=OB,CA=CB,
那么直线 AB是⊙O的切线吗
解：连接OC，C为半径的外端，因此只要证OC垂直于AB即可，而由已知条件AO=OB，所以∠A＝∠B，又由AC＝BC，所以OC⊥AB．∴直线AB是⊙O的切线.
跟踪训练
Ｏ
Ａ
Ｂ
2．如图,已知：OA=OB＝５,AB＝８，以O为圆心，以3为半径的圆与直线AB相切吗？为什么？
解：过O作OC⊥AB ，因此只要证OC=3即可,而由已知条件可知AO=OB=5，AB=8，所以AC＝BC=4，据勾股定理得OC=3.∴ ⊙O与直线AB相切.
探究2 如图，在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形的三边都相切.
A
B
C
二、三角形的内切圆
三角形的内切圆作法：
（1）作∠ABC,∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D.
（3）以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆.
A
B
C
I●
┓
●
D
M
N
∵BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等,
因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.
A
B
C
I●
┓
●
E
F
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.
这样的圆可以作出几个呢 为什么
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况.
内心均在三角形内部
A
B
C
A
B
C
●
●
●
C
A
B
┐
做一做
判断题：
1.三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）
2.三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）
3.等边三角形的内心和外心重合（ ）
4.三角形的内心一定在三角形的内部（ ）
错
错
对
对
跟踪训练
例2.如图，在△ABC中，点O是内心，
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，
则∠BOC的度数是 .
A
B
C
O
（2）若∠A=80°，则∠BOC= .
（3）若∠BOC=110°，则∠A= .
130°
40°
120°
例题讲解
1.已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,
∠C是直角, AC=3,BC=4.求⊙O的半径r .
解：由Rt△ABC的三边长与其内切圆半径间的关系得
A
B
C
●
┏
O
b
a
c
跟踪训练
2.如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象.已知雕塑中心M到道路三边AC，BC，AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米.求镇标雕塑
中心M离道路三边的距离有多远？
A
C
B
古镇区
镇商业区
镇工业区
M
E
D
F
提示：AC⊥BC，BC=30米，AC=40米,得AB=50米.由
得M离道路三边的距离为10米.
本节课学习了以下内容：
1．探索切线的判定条件．
2．作三角形的内切圆．
3．了解三角形的内切圆、三角形的内心的概念．
课堂小结
1.如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.
当堂检测
证明：连接DC，DO，并延长DO交⊙O于F，连接AF.
∵AD2＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，
∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.
又∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，
∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，
又∵∠CAF＝∠CDF，
∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CAF＝∠DAF＝90°，
故DE是⊙O的切线.
2.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，
并证明你的结论.
(2)若tan∠ACB= ，BC=2，
求⊙O的半径.
【解析】（1）直线CE与⊙O相切.
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC ，
又 ∵∠ACB=∠DCE，
∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，
∵∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠AE0+∠DEC=90°，
∴∠OEC=90 °，
∴直线CE与⊙O相切.
BC=2，∴AB=BCtan∠ACB=
AC= .
又∵∠ACB=∠DCE ∴tan∠DCE= ，
设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，
解得：r= .
（2）∵tan∠ACB=
∴DE=DC tan∠DCE=1，
在Rt△CDE中，CE=
得
，
，
由
3.如图,AB是半圆的直径,O为圆心，AD，BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD.
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由.
（2）如果∠BDE=60°， ，求PA的长.
【解析】（1）PD是⊙O的切线.
连接OD,∵OB=OD,
∴∠ODB=∠PBD.
又∵∠PDA=∠PBD.∴∠ODB=∠PDA.
又∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°.
即∠ODB+∠ODA=90°. ∴∠ODA+∠PDA=90°,
即OD⊥PD.∴PD是⊙O的切线.
（2）∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,∠ADB=90°,
∴∠ODB=30°,∠ODA=60°.
∵OA=OD,
∴△AOD是等边三角形.
∴∠POD=60°.
∴∠P=∠PDA=30°.
在Rt△PDO中，设OD=x,
∴
∴x1=1,x2=-1（不合题意，舍去）
∴PA=1.
方法归纳
证明直线是否是圆的切线有两种辅助线的作法：（1）过圆心作已知直线的垂线，判定距离等于半径；（2）连接圆心与圆上的点，证垂直.
第 三章 圆
第三章 圆
3.6 直线和圆的位置关系
(第2课时)
学习目标
1.理解并掌握切线的判定定理,能够熟练运用切线的性质和判定解决有关的证明和计算.（重点）
2.了解三角形的内切圆的有关概念及性质并能灵活应用.（重点）
直线和圆相交
d r
d r
直线和圆相切
直线和圆相离
d r
相交
相切
相离
<
=
>
O
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d
┐
r
ｏ
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┐
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知识回顾
B
●O
A
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d
α
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d
α
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你能写出一个命题来表述这个事实吗
探究1 如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋转时, 圆心O到直线l的距离d如何变化？
知识讲解
一、圆的切线的判定
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
C
D
B
●O
A
∵AB是⊙O的直径,直线CD经过A点,且CD⊥AB,
∴ CD是⊙O的切线.
这个定理实际上就是
d=r 直线和圆相切
的另一种说法.
判定定理
例1.如图,AB是⊙O的直径, ∠ABT=45°,AT=BA．
求证:AT是⊙O的切线.
证明：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT=AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB=45°.由三角形内角和定理可证∠TAB=90°，即AT⊥AB，故AT是⊙O的切线．
A
T
B
O
例题讲解
1.如图,已知直线AB 经过⊙O上的点C, 并且AO=OB,CA=CB,
那么直线 AB是⊙O的切线吗
解：连接OC，C为半径的外端，因此只要证OC垂直于AB即可，而由已知条件AO=OB，所以∠A＝∠B，又由AC＝BC，所以OC⊥AB．∴直线AB是⊙O的切线.
跟踪训练
Ｏ
Ａ
Ｂ
2．如图,已知：OA=OB＝５,AB＝８，以O为圆心，以3为半径的圆与直线AB相切吗？为什么？
解：过O作OC⊥AB ，因此只要证OC=3即可,而由已知条件可知AO=OB=5，AB=8，所以AC＝BC=4，据勾股定理得OC=3.∴ ⊙O与直线AB相切.
探究2 如图，在△ABC中，作一个圆使它与这个三角形的三边都相切.
A
B
C
二、三角形的内切圆
三角形的内切圆作法：
（1）作∠ABC,∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
（2）过点I作ID⊥BC，垂足为D.
（3）以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆.
A
B
C
I●
┓
●
D
M
N
∵BE和CF只有一个交点I,并且点I到△ABC三边的距离相等,
因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个,并且只能作一个.
A
B
C
I●
┓
●
E
F
定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点.
这样的圆可以作出几个呢 为什么
分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况.
内心均在三角形内部
A
B
C
A
B
C
●
●
●
C
A
B
┐
做一做
判断题：
1.三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ）
2.三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ）
3.等边三角形的内心和外心重合（ ）
4.三角形的内心一定在三角形的内部（ ）
错
错
对
对
跟踪训练
例2.如图，在△ABC中，点O是内心，
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，
则∠BOC的度数是 .
A
B
C
O
（2）若∠A=80°，则∠BOC= .
（3）若∠BOC=110°，则∠A= .
130°
40°
120°
例题讲解
1.已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,
∠C是直角, AC=3,BC=4.求⊙O的半径r .
解：由Rt△ABC的三边长与其内切圆半径间的关系得
A
B
C
●
┏
O
b
a
c
跟踪训练
2.如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象.已知雕塑中心M到道路三边AC，BC，AB的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米.求镇标雕塑
中心M离道路三边的距离有多远？
A
C
B
古镇区
镇商业区
镇工业区
M
E
D
F
提示：AC⊥BC，BC=30米，AC=40米,得AB=50米.由
得M离道路三边的距离为10米.
本节课学习了以下内容：
1．探索切线的判定条件．
2．作三角形的内切圆．
3．了解三角形的内切圆、三角形的内心的概念．
课堂小结
1.如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.
当堂检测
证明：连接DC，DO，并延长DO交⊙O于F，连接AF.
∵AD2＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，
∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.
又∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，
∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，
又∵∠CAF＝∠CDF，
∴∠FDE＝∠CDE+∠CDF＝∠DAC+∠CAF＝∠DAF＝90°，
故DE是⊙O的切线.
2.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB=∠DCE．
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，
并证明你的结论.
(2)若tan∠ACB= ，BC=2，
求⊙O的半径.
【解析】（1）直线CE与⊙O相切.
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC ，
又 ∵∠ACB=∠DCE，
∴∠DAC=∠DCE,连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE，
∵∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠AE0+∠DEC=90°，
∴∠OEC=90 °，
∴直线CE与⊙O相切.
BC=2，∴AB=BCtan∠ACB=
AC= .
又∵∠ACB=∠DCE ∴tan∠DCE= ，
设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，
解得：r= .
（2）∵tan∠ACB=
∴DE=DC tan∠DCE=1，
在Rt△CDE中，CE=
得
，
，
由
3.如图,AB是半圆的直径,O为圆心，AD，BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD.
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由.
（2）如果∠BDE=60°， ，求PA的长.
【解析】（1）PD是⊙O的切线.
连接OD,∵OB=OD,
∴∠ODB=∠PBD.
又∵∠PDA=∠PBD.∴∠ODB=∠PDA.
又∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°.
即∠ODB+∠ODA=90°. ∴∠ODA+∠PDA=90°,
即OD⊥PD.∴PD是⊙O的切线.
（2）∵∠BDE=60°,∠ODE=90°,∠ADB=90°,
∴∠ODB=30°,∠ODA=60°.
∵OA=OD,
∴△AOD是等边三角形.
∴∠POD=60°.
∴∠P=∠PDA=30°.
在Rt△PDO中，设OD=x,
∴
∴x1=1,x2=-1（不合题意，舍去）
∴PA=1.
方法归纳
证明直线是否是圆的切线有两种辅助线的作法：（1）过圆心作已知直线的垂线，判定距离等于半径；（2）连接圆心与圆上的点，证垂直.