3.7 切线长定理 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
第三章 圆
第三章 圆
3.7 切线长定理
学习目标
1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进 行计算与证明.（重点）
2.了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念.
3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.（难点）
新课导入
P
O
O.
P
B
A
A
B
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？
问题2 过圆外一点作圆的切线，可以作几条？
一、切线长
知识讲解
P
1.切线长的定义
过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
2.切线与切线长的区别
二、切线长定理
问题 在透明纸上画出下图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，沿直线OP对折图形，你能猜测一下PA与PB，∠APO与∠BPO分别有什么关系吗？
PA=PB，∠APO=∠BPO.
1.切线长定理的内容
过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等.
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
2.几何语言
B
P
O
A
拓展结论
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.
△APB △AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
B
P
O
A
C
E
D
★切线长问题辅助线添加方法
（3）连接圆心和圆外一点.
（2）连接两切点；
（1）分别连接圆心和切点；
三、三角形的内切圆及内心
问题： 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
M
N
D
作法：
（1）作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
（2）过点O作OD⊥BC, 垂足为D.
（3）以点O为圆心，OD为半径作圆O.
⊙O就是所求作的圆.
A
C
B
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
B
2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3.这个三角形叫做圆的外切三角形.
4.三角形的内心就是三角形的三个内角平分线的交点.
┐
A
C
O
┐
┐
D
E
F
提示：三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
⊙O是△ABC的内切圆，
点O是△ABC的内心，△ABC是⊙O的外切三角形,
OD=OE=OF.
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边
垂直平分线的交点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心在三角形内部．
外心与内心的区别：
A
B
O
A
B
C
O
C
例1：已知如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O 的半径。
O
C
B
A
E
D
F
变式1：△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.
【解析】
设AF=x,则AE=x
∴CD=CE=AC-AE=13-x，
BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC可得
13-x+9-x=14，
解得x=4.
∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.
变式2 已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.
【解析】易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB.
∴ PE+EQ=PA=12cm,
PF+FQ=PB=PA=12cm.
∴周长为24cm.
F
A
B
D
L
M
N
P
O
结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和圆O分别相切于L，M，N，P。
C
（1）找出图中所有相等的线段
（2）填空：AB+CD AD+BC（>,<,=)
=
DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM
比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
想一想
探索圆外切四边形边的关系
课堂小结
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
依据
提供了证线段和
角相等的方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化到某条边上，从而建立方程，求线段的长.
有关概念
内心、三角形的内切圆、圆的外切三角形
应用
重要结论
只适合于直角三角形
当堂检测
20 °
4
B
P
O
A
第2题
1.如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，下列结论中，错误的是（　　）
A．∠APO =∠BPO B．PA = PB
C．AB ⊥OP D．PA = P0
D
B
P
O
A
第1题
2.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如AP=4, ∠APB = 40 ° ,则∠APO = , PB = .
3.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,∠P= 50 °，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB= .
65 °或115 °
B
P
O
A
第3题
4.△ABC的内切圆⊙O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3, BD+CE=12, 则△ABC的周长是 .
A
B
C
F
E
D
O
第4题
24
5.如图，在△ABC 中，∠ABC=50 ，∠ACB=75 ,点O是△ ABC的内心，求∠BOC的度数.
解：∵点O是△ABC 的内心,
∴∠OBC = ∠ABC = ×50 = 25 ,
∠OCB = ∠ACB = ×75 =37.5 .
在△OBC 中，∠BOC =180 - ∠OBC - ∠OCB
=180 - 25 - 37.5 = 117.5 .
6.△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为，求△ABC的面积. （提示：设内心为O，连接OA、OB、OC）
解：如图, 设三个切点分别为D,E,F.
连接OD, OE, OF.
= + +
= ×AB×r+ ×BC×r+ ×AC×r
= ×(AB +BC +AC )×r
= r
┐
A
C
O
┐
┐
D
E
F
B