(共28张PPT)
15.3 分式方程
第2课时
八年级上册
学习目标
1.会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程；
2.了解解分式方程根需要进行检验的原因；
3.体会化归思想和程序化思想.
预习反馈
1.分式方程 =1的解是_________.
2.若分式与1互为相反数，则x的值是______.
x=3
-1
预习反馈
3.解方程：（1）； （2） .
解：（1）方程两边同乘以x(x-1)得：3x-3=2x
解得：x=3
经检验，x=3是原方程的解
所以原方程的解是x=3
（2）原方程两边同乘以6x ,得
3(x+1)=2x·(x+1)
整理得
解得x=-1或x=
经验证它们都是原方程的解，
故原方程的解为x=-1或x=
复习导入
什么是分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程.
这类方程该如何解呢？
探究新知
想一想：
解分式方程和解整式方程有什么区别？
解分式方程的思路是：
分式方程
整式方程
去分母
解得：v=5
下面我们一起研究怎么样来解分式方程：
方程两边同乘以(20+v)(20-v)，得：100(20-v)=60(20-v)
检验：将v=5代入分式方程，左边=4=右边，所以v=5是原分式方程的解.
解分式方程是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．
知识点一：解分式方程
思考
（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？
（4）这样做的依据是什么？
（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．
（2）利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．
归纳总结
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. （转化思想）
2、解这个整式方程.
3、检验 .
4、写出原方程的根.
解分式方程的一般步骤：
例题解析
例1 解下列方程：
解： 方程两边同乘2x－5，得x－(2x－5)＝－5.
解这个方程，得x＝10.
检验：当x＝10时，2x－5≠0，
所以x＝10是原方程的解．
1.解下列方程：
2.把分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘( )
A．x B．2x
C．x＋4 D．x(x＋4)
解： (1) x＝－5; (2) x＝5 .
D
试一试
例2 解方程
例题解析
解：方程两边同乘x(x-3)，得：2x=3x-9
解得：x=9
检验：x=9时，x(x-3) ≠0，
所以x=9是原分式方程的解
解下列方程：
解：(1) x＝1; (2) x＝
试一试
解分式方程：
解：方程两边同乘以最简公分母(x-5)(x+5)，得：x+5=10
解得：
x=5
检验：将x=5代入x-5，x2-25的值都为0，相应的分式无意义.
所以x=5不是原分式方程的解.
∴原分式方程无解.
为什么会产生无解？
探究新知
知识点二：分式方程的增根
产生的原因:分式方程两边同乘一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根.所以我们解完分式方程时一定要代入原分式方程或最简公分母进行检验.
为什么方程会产生无解？
思考
归纳总结
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程
的根，这种根叫做原方程的增根 .
检验的方法主要有两种：
显然，第2种方法比较简便！
（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；
（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．
例3、解方程
例题解析
解：方程两边同乘(x-1)(x-2)，得：x(x+2)-(x-1)(x+2)=3
化简，得：x+2=3
解得：x=1
检验：x=1时(x-1)(x+2)=0，x=1不是原分式方程的解，
故，原分式方程无解.
试一试
解下列方程： ； (
解：(1) 无解; (2) x＝
思考
1.回顾解分式方程的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？
2.解分式方程应该注意什么？
解分式方程的一般步骤:
（1）去分母；
（2）解整式方程；
（3）检验．
（4）写出原方程的根.
解分式方程的思路：
分式方程
整式方程
去分母
一化二解三检验
归纳总结
注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．
随堂检测
1.解分式方程时，去分母后变形正确的为( )
A．2＋(x＋2)＝3(x－1)
B．2－x＋2＝3(x－1)
C．2－(x＋2)＝3
D．2－(x＋2)＝3(x－1)
2. 如果关于x的方程无解,则m的值等于（ ）
A.-3 B.-2 C.-1 D.3
D
B
3. (中考 遵义)若x ＝3是分式方程的根，则a的值是( )
A．5 B．－5 C．3 D．－3
4. (中考 齐齐哈尔)关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是( )
A． a ＝5或a ＝0 B． a ≠0
C． a ≠5 D． a ≠5且a ≠0
5. (中考 营口)若关于x的分式方程有增根，则m的值是( )
A．m＝－1 B．m＝0 C．m＝3 D．m＝0或m＝3
A
D
A
解：方程的两边同时乘(x+3)(x-3)得x+3+kx-3k=k+3
整理得:(k+1)x=4k
因为方程无解,则x=3或x=-3
当x=3时,(k+1) ·3=4k,k=3,
当x=-3时,(k+1)(-3)=4k, 解得k=
所以当k=3或时,原分式方程无解.
6. 关于x的方程无解,求k的值.
课堂小结
本节课我们学习了什么？你有什么收获呢？
1、分式方程的概念
2、解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？
3、解分式方程应该注意什么？
书面作业：完成相关书本作业
布置作业
再见(共21张PPT)
15.3 分式方程
第1课时
八年级上册
学习目标
1.掌握分式方程的概念；
2.会列分式方程；
1.下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程
2.在方程中 分式方程有（ ）
A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个
预习反馈
(2)(3)(4)是分式方程，(1)是整式方程.
B
3.某校为丰富学生的校园生活，准备购买一批运动器材，已知甲类器材比乙类器材单价低120元，用20000元购买甲类器材与用30000元购买乙类器材的数量相同，设甲类器材的单价为x元，依题意，下列方程正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
D
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少
解:设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
分母中含未知数的方程叫做 ？
情景导入
分母中含有未知数．
方程
与上面的方程有什么共同特征？
探究新知
知识点一：分式方程的概念
分式方程的概念：
注意：
我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．
归纳总结
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
例1、 下列式子中，属于分式方程的是 ，属于整式方程的是 （填序号）．
（2）（3）
（1）
例题解析
(1)分式方程的两个特点：
①方程中含有分母；②分母中含有未知数．
(2)分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的
根本区别，是区分分式方程和整式方程的依据．
(3)整式方程和分式方程统称为有理方程．
归纳总结
1.预习完分式方程的概念，小丽举出了以下方程，你认为不是方程的是( )
B.
C. D.
2.下面说法中，正确的是( )
A．分母中含有未知数的式子就是分式方程
B．含有字母的方程叫做分式方程
C．分式方程中，分母中一定含有未知数
D．分式方程就是含有分母的方程
B
试一试
C
探究新知
知识点二：列分式方程的步骤
例2 ﹤山东泰安﹥某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车
间独立生产一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入了该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件个数是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中，设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为（ ）
A. B.
C. D.
B
分析：根据“乙车间每天生产的电子元件个数是甲车间的1.3倍”，设甲车间每天生产电子元件x个，则乙车间每天生产电子元件1.3x个，根据等量关系“甲车间单独生产所用时间＋甲、乙两车间共同生产所用时间＝33天”列方程．具体过程如下：
解：设甲车间每天生产电子元件x个，则乙车间每天生产电子元件1.3x个，甲、乙两车间每天共生产电子元件(x＋1.3x)个，根据题意可得方程：
在实际问题中建立分式方程的模型关键是要明确题目中的等量关系，一般会出现“某某相等”或是“某某相差多少”等等，可以根据这些等量关系列出程．
归纳总结
列分式方程的步骤：
(1)审清题意；
(2)设未知数；
(3)找到相等关系；
(4)列分式方程．
(中考·乌鲁木齐)九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
C
试一试
随堂检测
在方程，中，分式方程的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个
2.下列关于x的方程是分式方程的是( )
A． ＝1－ B． ＝2＋x
C． ＋ ＝1 D． ＝1
B
D
3.岳阳市某校举行运动会，从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多3元，且用200元购买笔记本的数量与用350元购买笔袋的数量相同．设每个笔记本的价格为x元，则下列所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
B
4. (中考·辽阳)从甲地到乙地有两条公路，一条是全长450公里的普通公路，一条是全长330公里的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快35公里/小时，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为x小时，那么x满足的分式方程是( )
A. B.
C. D.
D
5.某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可列方程为_______________
课堂小结
本节课我们学习了什么？你有什么收获呢？
1、分式方程的概念
2、列分式方程的步骤
书面作业：完成相关书本作业
布置作业
再见(共23张PPT)
八年级上册
15.3 分式方程
第3课时
学习目标
1.会列出分式方程解决简单的实际问题
2.能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.
预习反馈
解：设船在静水中的速度为X千米/小时。
80x+160－80x+160=x2-4
解得：x=±18
x=－18（不合题意，舍去）
1.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达。已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水中的速度。
检验得： x=18
答：船在静水中的速度为18千米/小时。
解分式方程的一般步骤
1、 去分母
2、 解整式方程.
3、 验根
4、 写解.
解分式方程的思路是：
一化二解三检验
分式方程
整式方程
去分母
验根
两边都乘以最简公分母
回顾思考
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快
解：甲队1个月完成总工程的 ,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 ,那么甲队半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的_____,两队半个月完成总工程的_______ .
例题解析
解：设乙队如果单独施工1个月完成总工程的.
依题意得
方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x， 解得 x=1.
检验:x=1时6x≠0,x=1是原分式方程的解
答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,
而甲队1个月完成总工程的,可知乙队施工速度快.
某火车站北广场将于2017年年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共6 600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．
(1)A，B两种花木的数量分别是多少棵？
(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
试一试
解：(1)设B花木的数量为x棵，则A花木的数量是(2x－600)棵，由题意得
x＋2x－600＝6 600，
解得x＝2 400，
2x－600＝4 200，
答：A花木的数量为4 200棵，B花木的数量为2 400棵．
(2)设安排a人种植A花木，由题意得
解得a ＝14，
经检验， a ＝14是原分式方程的解，且符合题意，
26－ a ＝26－14＝12，
答：安排14人种植A花木，12人种植B花木．
列分式方程解应用题的一般步骤：
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
4.解:认真仔细解这个分式方程.
5.验:检验.
6.答:注意单位和语言完整.
归纳
例2 某列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？
分析：这里的v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km/h，先考虑下面的填空：
提速前列车行驶skm所用的时间为h，提速后列车的平均速度为(x+v) km/h，提速后列车运行(s+50)km，所用时间为h. 根据行驶时间的等量关系可以列出方程:
例题解析
去分母得：s(x+v)=x (s+50)
去括号，得sx+sv=sx+50x.
移项、合并同类项，得50x=sv.
解得
检验：由于v，s都是正数，时x（x+v）≠0， 是原分式方程的解.
答：提速前列车的平均速度为km/h.
（中考·烟台）2014年12月28日“青烟威荣”城际铁路正式开通，从烟台到北京的高铁里程比普快里程缩短了81千米，运行时间减少了9小时．已知烟台到北京的普快列车里程约为1 026千米，高铁列车平均速度为普快列车平均速度的2.5倍．
(1)求高铁列车的平均速度．
试一试
解： 设普快列车的平均速度为x千米/小时，则高铁列车的平均速度为2.5x千米/小时，由题意得
解得x＝72，
经检验，x＝72是原分式方程的解，且符合题意，
则2.5x＝180.
答：高铁列车的平均速度为180千米/小时．
(2)某日王老师要去距离烟台大约630千米的某市参加14：00召开的会议，如果他买到当日8：40从烟台至该市的高铁票，而且从该市火车站到会议地点最多需要1.5小时，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？
解： 630÷180＝3.5(小时)，
则途中最多共需要3.5＋1.5＝5(小时)．
王老师到达会议地点的最晚时间为13：40.
故他能在开会之前到达．
随堂检测
1.货车行驶25km与小车行驶35km所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20km，求两车的速度各为多少？设货车的速度为xkm/h，依题意列方程正确的是( )
A. B. C. D.
C
C
2.关于x的方程mx-1=2x的解为正实数，则m的取值范围是( )
A.m≥2 B.m≤2 C.m>2 D.m<2
3.（中考·绵阳）在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛.当时洪水流速为10 km/h,张师傅奉命用冲锋舟去救援,他发现沿洪水顺流以最大速度航行2km所用时间与以最大速度逆流航行1.2 km所用时间相
等.则该冲锋舟在静水中的最大航速为___ _.
40 km/h
4.（中考·珠海)为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1 200件新产品进行精加工后再投放市场，现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工
1.5x件产品，依题意得 ，
解得：x=40.
经检验x=40是原方程的解，所以1.5x=60.
答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品.
5.（中考·潼南)某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天
(2)若甲工程队独做a天后,再由甲、乙两工程队合作____天(用含a的代数式表示)可完成此项工程;
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元,乙工程队施工每天需付施工费2.5万元,甲工程队至少要单独施工多少天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元
解：(1)设乙单独做x天完成此项工程,则甲单独做(x+30)天完成此项工程.
由题意得:20()=1
整理得x2-10x-600=0，
解得x1=30,x2= -20.
经检验:x1=30,x2=-20都是分式方程的解,
但x2=-20不符合题意舍去.
x+30=60.
答:甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天.
(2)设甲单独做a天后,甲、乙再合作(20-)天,可以完成此项工程.
(3)由题意得1×a+(1+2.5)(20-)≤64
解得a≥36
答:甲工程队至少要单独做36天后,再由甲、乙两队合作完成剩
下的工程,才能使施工费不超过64万元.
课堂小结
本节课我们学习了什么？你有什么收获呢？
1、会列出分式方程解决简单的实际问题 ，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.
2、掌握列分式方程解应用题的一般步骤
书面作业：完成相关书本作业
布置作业
再见
