(共21张PPT)
八年级上册
13.3.1 等边三角形
第1课时
1、了解等边三角形的概念； 掌握等边三角形的性质与判定方法；
2、通过探究活动，激发学生的学习兴趣，渗透类比、分类、转化思想，学会用数学思想和方法研究数学问题.
学习目标
1.有一个角是60°的____________是等边三角形.
2.等边三角形是轴对称图形，它有___条对称轴.
3.若△ABC是等边三角形，且AB=5，则这个三角形周长是____.
4.在△ABC中，有下列结论：①若AB=BC=CA，则△ABC是等边三角形；②一个底角为60°的等腰三角形是等边三角形；③顶角为60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角都是60°三角形是等边三角形. 其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
等腰
3
15
D
预习反馈
5.给出下列命题：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角相等的三角形是等边三角形. 其中正确的个数是 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
探究点一
问题1：问题：1、把等腰三角形的性质（等边对等角）用到等边三角形，能得什么结论？请证明.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC.
求证：∠A=∠B=∠C.
证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
同理∴∠A=∠C
∴∠A=∠B=∠C
等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60。
几何语言：∵AB＝AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝∠C=60°.
合作探究
探究点一
问题2：一个三角形的三个角满足什么条件就是等边三角形？请证明.
已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B
∴AB=AC
同理：AB=BC
∴AB=AC=BC
即△ABC是等边三角形
由此得出，等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形；
几何语言：∵∠A＝∠B＝∠C
∴AB＝AC＝BC
归纳总结
探究点二
问题1：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？请证明.
已知：如图在△ABC中，AB=AC，∠A＝60°（∠B＝60°或者∠C＝60°）
求证：△ABC是等边三角形.
证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C
当∠A=60°时，又∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠B=∠C= （180°-60°）=60°
∴∠A=∠B=∠C=60°
∴△ABC是等边三角形
当∠B＝60°时，∠C=∠B＝60°
∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°
∴∠A=∠B=∠C=60°
∴△ABC是等边三角形.
当∠C=60°时，同理可得△ABC是等边三角形
∴有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
合作探究
由此得出，等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
几何语言：
∵AB＝AC,∠A＝60°（∠B＝60°或者∠C＝60°）
∴AB＝AC＝BC（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）
归纳总结
探究点二
问题2：等腰三角形是轴对称图形，它只有一条对称轴，对称轴是底边的垂直平分线.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
等边三角形有等腰三角形以上的性质吗？
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴就是各边的垂直平分线.
等边三角形的各边上的中线、高与它对角的平分线相互重合.
合作探究
探究点三
问题1：如图，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB、AC于点D、E。
求证：△ADE是等边三角形
证明：△ADE是等边三角形.
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=60°
又∵AD=AE
∴△ADE是等边三角形.
合作探究
探究点三
问题2：如图，等边△ABC中，D是AC边的中点，延长BC到点E，使CE=CD，连接DE，试判断△BDE的形状，为什么？
解：△BDE是等腰三角形.
∵△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠ABD=∠DBC= ∠ABC=30°，
又∵CE=CD
∴∠CED=∠CDE
∵∠ACB=∠CED+∠CDE
∴∠CED= ∠ACB=30°
∴∠DBC=∠CED，∴BD=DE
故△BDE是等腰三角形
1．给出下列命题：
①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；
②有两个外角相等的等腰三角 形是等边三角形；
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
④三个外角都相等的三角形是等边三角形．
其中正确命题的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
C
随堂检测
2．如图，已知直线l ∥l ，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝____.
20°
3．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD.
求证：DB＝DE.
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
4．已知：如图，在等边△ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得AD＝BE＝CF.
求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∵AD=BE=CF，
∴AF=BD，
在△ADF和△BED中，
AD＝BE
∠A＝∠B
AF＝BD，
∴△ADF≌△BED(SAS)，
∴DF=DE，
同理DE=EF，
∴DE=DF=EF．
∴△DEF是等边三角形．
5．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
解：（1）△ABC为等边三角形
∴A=B=ACB=60，
DEAB
∴EDF= B =60, DEC=A =60,
∴DEF= 90,
∴F=90 EDF = 30．
（2）DEC= 60, DEF= 90,
∴CEF=30=F，
∴CE=CF
CED= ACB =60,
∴位等边三角形
∴CD=CE= 2
∴=2CE = 4．
6．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上，连接AD交CE于点G，连接BE交AC于点 H，连接G H.
(1)请说出AD＝BE的理由．
(2)试说出△BCH≌△ACG的理由．
(3)试猜想△CG H是什么特殊的三角形？并加以说明．
解：（1）△ABC和△CDE均为等边三角形
∴AC=BC , EC=DC
ACB=ECD=60，
∴ACD= ECB =60,
∴ACD △BCE
∴AD=BE．
（2）
∴ CBH= CAG
ACB=ECD=60，点B、C、D在同一条直线上
∴ACB= ECD=ACG=60,
又AC=BC
∴ACG △BCH．
（3） CGH是等边三角形，
理由如下：
∴
又ACG=60
∴是等边三角形．
1. 等边三角形的概念：三个角都相等的三角形叫等边三角形.
2. 等边三角形性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
3. 等边三角形的判定：
判定⑴：三个角都相等的三角形是等边三角形.
判定⑵：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
课堂小结
书面作业：完成相关书本作业
布置作业
再见(共21张PPT)
八年级上册
13.3.1 等边三角形
第2课时
1、探索含30°角的直角三角形的性质；
2、会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算.
学习目标
1.如图，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，若AD=3cm，则AB=___cm，AE=___cm.
2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是高，E是AB上一点，且CE=BE. 若DE=2cm，则AC=____cm，AB=____cm.
3.△ABC中，∠C=90°，∠A=2∠B，AC=1.5cm，则AB=_____cm.
4.已知一个三角形的三个内角的比是1∶2∶3，最短边为5cm，则最长边为____cm.
6
1.5
4
8
3
10
预习反馈
探究点一
问题1：将两个含30°角的三角尺摆放在一起。你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗
∠BAD=∠D=_______， ∠BAC=___________;
AB=BD, △ABE是__________三角形； 2BC=BD=________.
60°
等边
AB
30°
合作探究
要点归纳： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
几何语言：在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC= AB
归纳总结
问题2：已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求证：BC= AB.
证明1：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则∠B=60°. 延长BC至D， 使CD=BC，连接AD.
∵ ∠ACB=90° ∴ ∠ACD=90°
∵ AC=AC ∴ △ABC≌△ADC ( SAS )
∴ AB=AD (全等三角形的对应边相等)
∴ △ABD是等边三角形 (有一角等于60°的等 腰三角形是等边三角形)
∴ BC= BD= AB
合作探究
证明2：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，则∠B=60°.在BA上截取BE=BC，连接EC.
∴ BCE是等边三角形.
∴BC=BE=CE
∴∠BEC=60°
又∵∠A=30°，∠BEC=∠A+∠ACE
∴∠ACE=30°
∴CE=AE
∴BC=BE=AE= AB
探究点二
问题1：下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°
∴BC= AB，DE= AD
∴BC= ×7.4=3.7(m)
又∵AD= AB
∴DE= AD= ×3.7=1.85(m)
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m
合作探究
问题2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，∠BAC的平分线AM长为15cm，求BC的长.
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°
∴∠B=30°
∵AM平分∠BAC
∴∠CAM=∠BAM=30°
∴∠B=∠BAM
∴AM=BM=15cm
∵在Rt△ACM中，∠CAM=30°
∴CM= AM=7.5cm
∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5(cm)
答：BC的长为22.5cm
探究点三
问题1：已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则腰上的高为多少？
解：如图，过C作CD⊥AB，角BA延长线于D，
∵∠B=15°，AB=AC，
∴∠DAC=30°，
∵CD为AB上的高，AC=8cm，
∴CD= AC= ×8=4（cm）
故则腰上的高为4cm．
合作探究
问题2：如图,要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户。如果∠C=90°，∠B=30°,要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同,请你试着分一分,并在图上画出来。
解：作∠A的平分线AD交BC于D，过D作DE⊥AB于E，得到3个全等三角形
1．如图13-3-44所示是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝8 m，∠A＝3 0°，则立 柱BC的长度为( )
A．4 m B．8 m C．10 m D．16 m
2．将一个有45°角的三角板 的直角顶点放在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图所示，则三角板的直角边的长为( )
A．3 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm
A
B
随堂检测
3．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB＝14 cm，则阴影部分的面积是_____cm .
24.5
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．
求证：AB=4BD．
证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，∠B=60°．
又∵CD⊥AB，
∴∠DCB=30°，
∴BC=2BD．
∴AB=2BC=4BD．
5.如图，树AB垂直于地面，为测树高，小明在C处 测得∠ACB＝15°，他沿CB方向 走了20 m，到达D处，测得∠ADB＝30°，你能帮助小明计算出树的高度吗？
∵∠ADB=30°，∠ACB=15°，
∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°，
∴∠ACB=∠CAD，
∴AD=CD=20（m），
又∵∠ABD=90°，
∴AB= AD= ×20=10（m），
∴树的高度为10米．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线ED交AB于点E，交BC 于点D，若C D＝3，则BD的长为_______．
6
7．已知在△ABC中，∠BAC ＝120°，AB＝AC，AD⊥AC交BC于D，AD＝2，求BC的长度．
解：在△ABC中，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
又∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠C=30°
∴CD=2AD=4，∠BAD=∠B=30°，
∴AD=DB=2，
∴BC=CD+BD=4+2=6．
8．如图，∠BAC＝30°，点P是∠BAC平分线上 的一点，PD⊥AC于D，PE∥AC交AB于E，已知AE＝10 cm，求 PD的长度．
解：作PF⊥AB于F，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠CAP，
∵PE∥AC，
∴∠EPA=∠PDA，
∴∠BAP=∠EPA，
∴AE=PE=10，
∵∠FEP=∠BAC=30°，
∴PF= PE=5，
∵AP平分∠BAC，PF⊥AB，PD⊥AC，
∴PD=PF，
∴PD=5．
PD的长度为5cm
30 直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
课堂小结
书面作业：完成相关书本作业
布置作业
再见
