(共22张PPT)
八年级上册
13.3.1 等腰三角形
第1课时
1、理解并掌握等腰三角形的性质；
2、经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题；
学习目标
3、培养分类讨论、方程的思想和添加辅助线解决问题的能力.
1.等腰三角形的周长是35cm，腰长是底边的2倍，则该三角形的底边长是________cm，腰长是__________cm。
2.等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm，那么它的周长为（ ）
A、20cm B、22cm C、20cm或22cm D、都不对
3.已知等腰三角形的一个外角等于70°，那么底角的度数是（ ）
A、110° B、55° C、35° D、以上都不对
4.已知等腰三角形的一个外角等于130°，那么底角的度数是（ ）
A、50° B、65° C、50°或65° D、以上都不对
7
14
C
C
C
预习反馈
探究点一
问题1：如下图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，
并剪去阴影部分，再把它展开，得到的三角形有什么
特点？
操作结论：剪刀剪过的两条边_______，即△ABC中的边____=_____，所以得到的三角形是_______三角形。
等腰三角形的定义：有_________相等的三角形是等腰三角形
等腰三角形中相等的两边叫做________，另一边叫做_________，两腰所夹 的角叫做_________，底边与腰的夹角叫__________。
相等
AB
AC
等腰
两条边
腰
底边
顶角
底角
合作探究
探究点一
问题2：如图，把剪出的三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段与角，由这些重合的线段与角，你能发现等腰三角形的性质吗？
重合的角 ，重合的线段 .
1、通过操作可以得到等腰三角形的以下性质：
性质1 等腰三角形的两个_______相等（简写“等边对等_____”）
数学符号表示：
在△ABC中，∵AB=AC
∴∠_____=∠_____
∠B、∠C
AB、AC
底角
角
B C
合作探究
探究点一
问题2：如图，把剪出的三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段与角，由这些重合的线段与角，你能发现等腰三角形的性质吗？
性质2 等腰三角形的顶角_______线、底边上的_____线、底边上的_____相互重合（简写成“三线合一”）
（1）等腰三角形底边上的高AD，既是底边上的 ，又是顶角 ；
即在等腰△ABC中，AB=AC，
∵AD⊥BC，∴____= ____，∠_____ = ∠_____ ；
平分
中
高
中线
平分线
BD CD
BAD CAD
合作探究
（2）等腰三角形的底边上中线AD，既是底边上的 ，又是顶角 .
即在等腰△ABC中，AB=AC，
∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____；
（3）等腰三角形的顶角的平分线AD，既是底边上的 ，又是底边上的 ，
即在等腰△ABC中，AB=AC，
∵AD是角平分线，∴_____ =_____，____ ⊥____ 。
中线
平分线
AD BC
BAD CAD
合作探究
中线
高
BD CD
AD BC
你能利用三角形全等来证明性质1（等边对等角）吗？（你有几种方法？）
已知：如图△ABC中，AB=AC，
求证：∠B=∠C
证明：∵ 在△BAD与△CAD中
AB=AC
BD=CD
AD=AD
∴ △BAD≌△CAD(SSS)
∴ ∠B=∠C
证明2：作BC的垂线AD，垂足为D，则△ADB与△ADC是直角三角形
因为AB=AC，AD=AD
所以△ADB≌△ADC全等（HL）
所以∠B＝∠C
证明3：作∠A的平分线AD
因为AB＝AC，AD＝AD，
∠BAD＝∠CAD，
所以△ABD≌△ACD
所以∠B＝∠C
合作探究
探究点二
问题2：证明的启发，你能证明性质2（等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）吗 请证之。
方法1.已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高．
求证：BD=CD，∠BAD=∠CAD．
证明：因为AD是高，所以∠ADB=∠ADC=90°，
因为AB=AC，AD=AD，
所以直角△ABD全等直角△ACD,
所以BD=CD，∠BAD=∠CAD．
合作探究
探究点二
问题2：证明的启发，你能证明性质2（等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）吗 请证之。
方法2.已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，
求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．
因为AB=AC，AD=AD，BD=CD，
所以△ABD≌△ACD，
所以∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD．
因为∠ADB+∠ADC=180°，
所以∠ADB=90度，即有AD⊥BC．
合作探究
探究点二
问题2：证明的启发，你能证明性质2（等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）吗 请证之。
方法3.已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，
求证：AD⊥BC，BD=CD．
因为AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
所以△ABD≌△ACD，
所以∠ADB=∠ADC，BD=CD，
因为∠ADB+∠ADC=180°，
所以∠ADB=90度，即有AD⊥BC．
合作探究
例1 如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各角的度数
解:设∠C=x
∵ AB=AC
∴ ∠ABC=∠C=x,∠A=180°-2x
∵ BD=BC=AD
∴ ∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=x
∵ ∠BDC是△ABD的外角, ∴ ∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A
即x=360°-4x
∴ x=72°
则∠ABC=∠C=72°,∠A=36°
例题解析
例2：如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过点D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F.
(1)当点D在BC的什么位置时,DE=DF 请给出证明.
(2)过C点作AB边上的高CG,请问DE,DF,CG的长度之间存在怎样的关系 并加以证明.
解:(1)当D为BC的中点时,DE=DF.
∵D为BC的中点,∴BD=CD,
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°,
∴△BED≌△CFD(AAS),∴DE=DF.
(2)CG=DE+DF.
连接AD,∵S△ABC=S△ADB+S△ADC,
∴AB×CG=AB×DE+AC×DF,
又AB=AC,∴CG=DE+DF.
例题解析
1．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是( )
A．80° B．80°或20°
C．80°或50° D．20°
2．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD＝( )
A．36° B．54° C．18° D．64°
B
B
随堂检测
A
B
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于( )
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
4．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝( )
A．50° B．100° C．120° D．130°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，连接AD，AE.如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为( )
A．BD＝CE B．AD＝AE
C．DA＝DE D．BE＝CD
6．如图，直线 m∥n ，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，则∠1 ＝_________．
7．如图，AC∥BD，AB与CD相交于点O，若AO＝AC，∠A＝48 °，则∠D＝_______．
C
45°
66°
5题图
6题图
7题图
8．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D 是BC边上一点，CD＝AC，求∠1与∠2的度数．
解：∵AB=AC
∴∠B=∠C=36°
∵CD=AC
∴∠1=∠CDA
=(180°-∠C)
= (180°-36°) =72°
∴∠2=∠CDA-∠B=72°-36°=36°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.
证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠CBE=∠BAD．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中所有全等的三角形，并选择其中的一对全等三角形加以证明．
解：相互全等的三角形有△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD，△ABD≌△ACD
以△ABE≌△ACE为例，证明如下：
∵ AB=AC
∵AD为角平分线，
∴ ∠ BAE= ∠ CAE，
∵ AE=AE ，
∴△ABE≌△ACE（SAS）
1. 等腰三角形的定义
2. 等腰三角形的性质：
性质1： 等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”）
性质2： 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
课堂小结
书面作业：完成相关书本作业
布置作业
再见(共19张PPT)
八年级上册
13.3.1 等腰三角形
第2课时
1、通过探索、归纳、验证等腰三角形的判定定理，学会应用等腰三角形的判定定理；
2、提高利用已有知识解决实际问题的能力.
学习目标
1.下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A.有一个角等于45°的直角三角形
B.有两个角分别等于37°、106°的三角形
C.有两个角相等的三角形
D.有一个角是36°的直角三角形
2.如果一个三角形的一内角平分线垂直对边，那么这个三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
D
A
预习反馈
3.一个三角形三个外角的度数之比为3:2:3，那么这个三角形是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三形 D.是直角三角形但不是等腰直角形
4.已知等腰三角形的一个外角为110°，则这个等腰三角形的底角为( )
A.70° B.55° C.35° D.70°或55°
5.如图，△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E是BC上两点，且∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中的等腰三角形一共有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
C
D
D
探究点一
问题1：如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等。反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系呢？
如图，在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC（提示：添加辅助线，利用三角形全等的方法来证明）
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为点D.
∴∠ADB=∠ADC=90°
又∵∠B=∠C AD=AD
∴△BAD≌△CAD (AAS)
∴AB=AC
D
等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成：“等角对等边”）
合作探究
探究点一
问题2：等腰三角形的性质与判定有区别吗
性质是已知三角形是等腰三角形,得出等腰三角形的性质
判定根据已知条件,判定所给三角形是等腰三角形.
性质定理和判定定理是互为逆定理.
合作探究
合作探究
探究点二
问题1：问题1：你能证明如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形吗？
已知：如图∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD//BC。
求证：AB=AC
证明：∵AD∥AC
∴∠1=∠B
∠2=∠C
∴∠B=∠C
∴AB=AC
探究点二
问题2：如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点.
(1)写出点D到△ABC的三个顶点A,B,C的距离关系(不要求证明);
(2)如果点M,N分别在线段AB,AC上移动,在移动中保持AN=BM,请判断△DMN的形状,并证明你的结论.
解:(1)DA=DB=DC.
(2)△DMN为等腰直角三角形.
∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=45°,
又∵D为BC的中点,∴AD平分∠CAB,
∴∠CAD=45°.
在△ADN和△BDM中,
∴△ADN≌△BDM(SAS),
∴DM=DN,∠NDA=∠BDM.
∵∠BAD=45°,∠B=45°,
∴∠ADB=90°.
∴∠NDM=∠NDA+∠ADM
=∠BDM+∠ADM=∠ADB=90°,
∴△DMN是等腰直角三角形.
合作探究
探究点三
问题：已知等腰三角形底边长为 ，底边上的高长为h，求作这个等腰三角形。
作法：
1.作线段AB=______.
2.作线段AB的垂直平分线_______，
与AB相交于点 .
3.在MN上取一点C，使DC= .
4.连接 ， ，
则△ABC即为所求作的等腰三角形.
a
MN
D
h
AC
BC
合作探究
1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB ＝3，AD＝1，则△AED的周长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，∠A＝36°，∠ADB＝108°，则图中等腰三角形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
A
C
随堂检测
3．如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是( )
A．AB＝EB B．AD＝DC
C．AD＝ED D．AD＝EC
B
4．用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段a，∠α.
求作：△ABC，使AB＝AC＝a，∠B＝α.
B
A
C
5．如图，锐角三角形的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.
求证：△ABC是等腰三角形．
证明： ∵ OB=OC，
∴ ∠OBC = ∠OCB
∵ ∠CEB= ∠BDC = 90°
∴ ∠DCB = ∠EBC
∴ AB = AC
△ABC是等腰三角形
6．已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E＝∠B，DE＝DC.
求证：AB＝AC.
证明：∵DE＝DC
∵AD平分∠EDC，∴∠ADE=∠ADC，
∵AD＝AD
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠C=∠E，
又∵∠E=∠B．
∴∠C=∠B，
∴AB=AC．
7．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．
证明：∵BD=BE,∠BAD=∠BCE,∠B= ∠B；
∴ △BDA≌△BEC；
∴ AB=BC；
∴△ABC是等腰三角形；
∴AE=CD
又∵ ∠BAD=∠BCE；∠AFE=∠DFC（对顶角）；
∴ △AEF≌△DCF;
∴ AF=CF；
△AFC是等腰三角形；
8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.
(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)
(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．
解：（1）①②；①③．
（2）选①③证明如下，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠EBO=∠DCO，
又∵∠ABC=∠EBO+∠OBC，∠ACB=∠DCO+∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
1. 等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写“等角对等边”).
2. 等腰三角形性质与判定的区别
3. 等腰三角形的作法（尺规作图）
课堂小结
书面作业：完成相关书本作业
布置作业
再见
