4.2 等差数列 同步学案
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等差数列讲义
知识点1 等差数列的概念
1．等差数列的概念
(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)．
2．等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.
3．等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.
知识点2 等差数列的性质
1．等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(5){an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列；
d<0 {an}为递减数列；
d＝0 {an}为常数列
知识点3 等差数列的前n项和
1．数列的前n项和的概念
一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋
例题1等差数列中，，那么关于x的方程（ ）．
A．无实根 B．有两个不等实根
C．有两个相等实根 D．不能确定有无实根
【答案】C【详解】
因为等差数列中，，所以，
∴，∴方程为，，∴方程有两个相等实根．
故选：C.
例题2．已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】
由等差数列的求和公式可得，，
因此，.
故选：B.
例题3．一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数．
【答案】1，3，5或5，3，1.【详解】
设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则有解得
所以所求三个数分别为1，3，5或5，3，1.
例题4．已知正项数列的前项和为，.
（1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【详解】（1）证明：，当时，，
两式相减并整理得：，
即，
，，得，
当时，由，解得或（舍去），
数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
则，
（2）由（1）知，，
.
例题5．已知等差数列中，公差，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）为数列的前项和，求.
解析（1）在等差数列中，由得，则，解得或，而公差，则，，于是得，
所以数列的通项公式是.
（2）由(1)知，因此，，
当时，，
当时，
，
所以.
例题6．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝(n∈N*)．
（1）求证：是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）an＝.
【详解】（1）证明：因为对于n∈N*，an＋1＝，所以an＋1＝，
所以－＝－＝＝－1.
所以数列是首项为＝－2，公差为－1的等差数列．
（2）由（1）知＝－2＋(n－1)(－1)＝－(n＋1)，所以an－1＝－，即an＝.
练习
1．已知m，，，n和m，，，，n分别是两个等差数列（），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
设等差数列的公差为，则.设等差数列的公差为，则，所以.
2．已知，，这三个数成等差数列，则此数列的公差为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．
【答案】B【详解】
由，得，故原数列为2，3，4，公差为1.
3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】B【详解】
由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，
∴m＝8.
4．在数列中，，，若，则（ ）
A．671 B．672 C．673 D．674
【答案】D【详解】
∵，，
∴
∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴，解得.
5．已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为（ ）
A．－6 B．6 C．0 D．10
【答案】B【详解】
由于{an}，{bn}都是等差数列，所以{an－bn}也是等差数列，
而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常数列，
故a10－b10＝6.
6．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为（ ）
A．30 B．27 C．24 D．21
【答案】A【详解】
设b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.
因为{an}是等差数列，所以b1，b2，b3也是等差数列，得b1＋b3＝2b2，
所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.
7．一个边形的周长等于，所有各边的长成等差数列，最大边的长等于，公差等于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】由题意可知：
，，，
则，即，
解得或（舍），
所以，
8．在等差数列中，，，则（ ）
A．165 B．160 C．155 D．145
【答案】D
【详解】在等差数列中，
，，
，
解得，，
．
9．已知等差数列满足，，，则值为（ ）
A．20 B．19 C．18 D．17
【答案】A【详解】
，故，即.
，解得.
10．已知数列为等差数列，其前n项和为，，则（ ）
A．110 B．55 C．50 D．45
【答案】B【详解】
在等差数列中，，于是得，
所以．
11．已知数列的首项，，对任意的，都有，则___________.
【答案】41【详解】
因为对任意的，都有，
所以对任意的，都有，
所以数列是等差数列，
因为，，所以.
所以.故答案为：41
12．若数列是等差数列，，，则________.
【答案】32
【详解】∵ 数列是等差数列，∴ 若，则，
∴，又，，∴ ，
13．已知数列的首项，，则___________.
【答案】【详解】因为，所以，.
所以数列为以1为首项1为公差的等差数列，即
所以，
14．等差数列{an}是递增数列，若a2＋a4＝16，a1·a5＝28，则通项an＝_________.
【答案】3n－1【详解】
设公差为d，∵a2＋a4＝a1＋a5＝16，
∴由，解得或.
∵等差数列{an}是递增数列，∴a1＝2，a5＝14.
∴d＝＝＝3，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.
15．已知数列8，a，2，b，c是等差数列，则___________.
【答案】【详解】因为8，a，2，b，c是等差数列，
所以解得
所以.
16．若数列是公差为的等差数列，则数列是公差为___________的等差数列.
【答案】【详解】
.
17．若等差数列满足，，则当___时，的前项和最大．
【答案】【详解】
因为是等差数列，所以，可得，
因为，所以，
所以等差数列的前项为正，从第项开始小于，所以的前项和最大，
18．成等差数列的三个数的和为24，第二数与第三数之积为，求这三个数．
【答案】11,8,5.
【解析】设三个数为，则
∴
所以三个数为11,8,5.
19．在等差数列中，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）若的前项和为，求的最小值.
解析（1）由得：，
解得：，
故.
（2）由（1）知：，故
，
所以当时，取得最小值为.
20．已知等差数列满足，的前项和为.
（1）求及；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，则，
于是得，解得，则有，，
所以，；
（2）由（1）知，，
因此，，
所以.
21．已知在等差数列中，公差，其前n项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）由，，
得，解得，
所以等差数列的通项公式为．
（2）当时，
．
当时，
．
故．
22．已知数列的各项均为正数，其前项和满足．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设数列，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）由题意，数列的各项均为正数，且满足．
当时，，
可得，即，
因为，所以，
当时，，解得．
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列．
所以数列是等差数列为．
（2）由（1）知，可得，
所以.
23．等差数列中，，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由已知等差数列中，，由可得，
由等差数列的定义可得：是以为首项，以为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）得.
所以.
24．已知数列，其前项和记为，满足，.
（1)求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为，
所以，
即是等差数列，且公差，
又，，
所以，
即
（2）因为，
所以
，
即.
25．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
（1）数列是否为等差数列？说明理由．
（2）求an.
【答案】（1）是等差数列，理由见解析；（2）an＝.
解：（1）数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋，∴－＝，
所以数列是以首项为＝，公差为d＝的等差数列．
（2）由（1）可知，＝＋(n－1)d＝，∴an＝.
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等差数列讲义
知识点1 等差数列的概念
1．等差数列的概念
(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)．
2．等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a＋b＝2A.
3．等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d.
知识点2 等差数列的性质
1．等差数列的性质
(1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak.
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列．
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列．
(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
(5){an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列；
d<0 {an}为递减数列；
d＝0 {an}为常数列
知识点3 等差数列的前n项和
1．数列的前n项和的概念
一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋
例题1等差数列中，，那么关于x的方程（ ）．
A．无实根 B．有两个不等实根
C．有两个相等实根 D．不能确定有无实根
【答案】C【详解】
因为等差数列中，，所以，
∴，∴方程为，，∴方程有两个相等实根．
故选：C.
例题2．已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】
由等差数列的求和公式可得，，
因此，.
故选：B.
例题3．一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数．
【答案】1，3，5或5，3，1.【详解】
设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则有解得
所以所求三个数分别为1，3，5或5，3，1.
例题4．已知正项数列的前项和为，.
（1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【详解】（1）证明：，当时，，
两式相减并整理得：，
即，
，，得，
当时，由，解得或（舍去），
数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
则，
（2）由（1）知，，
.
例题5．已知等差数列中，公差，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）为数列的前项和，求.
解析（1）在等差数列中，由得，则，解得或，而公差，则，，于是得，
所以数列的通项公式是.
（2）由(1)知，因此，，
当时，，
当时，
，
所以.
例题6．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝(n∈N*)．
（1）求证：是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）an＝.
【详解】（1）证明：因为对于n∈N*，an＋1＝，所以an＋1＝，
所以－＝－＝＝－1.
所以数列是首项为＝－2，公差为－1的等差数列．
（2）由（1）知＝－2＋(n－1)(－1)＝－(n＋1)，所以an－1＝－，即an＝.
练习
1．已知m，，，n和m，，，，n分别是两个等差数列（），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】
设等差数列的公差为，则.设等差数列的公差为，则，所以.
2．已知，，这三个数成等差数列，则此数列的公差为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．
【答案】B【详解】
由，得，故原数列为2，3，4，公差为1.
3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】B【详解】
由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，
∴m＝8.
4．在数列中，，，若，则（ ）
A．671 B．672 C．673 D．674
【答案】D【详解】
∵，，
∴
∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴，解得.
5．已知{an}，{bn}是两个等差数列，其中a1＝3，b1＝－3，且a20－b20＝6，那么a10－b10的值为（ ）
A．－6 B．6 C．0 D．10
【答案】B【详解】
由于{an}，{bn}都是等差数列，所以{an－bn}也是等差数列，
而a1－b1＝6，a20－b20＝6，所以{an－bn}是常数列，
故a10－b10＝6.
6．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为（ ）
A．30 B．27 C．24 D．21
【答案】A【详解】
设b1＝a1＋a4＋a7＝58，b2＝a2＋a5＋a8＝44，b3＝a3＋a6＋a9.
因为{an}是等差数列，所以b1，b2，b3也是等差数列，得b1＋b3＝2b2，
所以b3＝2b2－b1＝2×44－58＝30，即a3＋a6＋a9＝30.
7．一个边形的周长等于，所有各边的长成等差数列，最大边的长等于，公差等于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】由题意可知：
，，，
则，即，
解得或（舍），
所以，
8．在等差数列中，，，则（ ）
A．165 B．160 C．155 D．145
【答案】D
【详解】在等差数列中，
，，
，
解得，，
．
9．已知等差数列满足，，，则值为（ ）
A．20 B．19 C．18 D．17
【答案】A【详解】
，故，即.
，解得.
10．已知数列为等差数列，其前n项和为，，则（ ）
A．110 B．55 C．50 D．45
【答案】B【详解】
在等差数列中，，于是得，
所以．
11．已知数列的首项，，对任意的，都有，则___________.
【答案】41【详解】
因为对任意的，都有，
所以对任意的，都有，
所以数列是等差数列，
因为，，所以.
所以.故答案为：41
12．若数列是等差数列，，，则________.
【答案】32
【详解】∵ 数列是等差数列，∴ 若，则，
∴，又，，∴ ，
13．已知数列的首项，，则___________.
【答案】【详解】因为，所以，.
所以数列为以1为首项1为公差的等差数列，即
所以，
14．等差数列{an}是递增数列，若a2＋a4＝16，a1·a5＝28，则通项an＝_________.
【答案】3n－1【详解】
设公差为d，∵a2＋a4＝a1＋a5＝16，
∴由，解得或.
∵等差数列{an}是递增数列，∴a1＝2，a5＝14.
∴d＝＝＝3，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.
15．已知数列8，a，2，b，c是等差数列，则___________.
【答案】【详解】因为8，a，2，b，c是等差数列，
所以解得
所以.
16．若数列是公差为的等差数列，则数列是公差为___________的等差数列.
【答案】【详解】
.
17．若等差数列满足，，则当___时，的前项和最大．
【答案】【详解】
因为是等差数列，所以，可得，
因为，所以，
所以等差数列的前项为正，从第项开始小于，所以的前项和最大，
18．成等差数列的三个数的和为24，第二数与第三数之积为，求这三个数．
【答案】11,8,5.
【解析】设三个数为，则
∴
所以三个数为11,8,5.
19．在等差数列中，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）若的前项和为，求的最小值.
解析（1）由得：，
解得：，
故.
（2）由（1）知：，故
，
所以当时，取得最小值为.
20．已知等差数列满足，的前项和为.
（1）求及；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，则，
于是得，解得，则有，，
所以，；
（2）由（1）知，，
因此，，
所以.
21．已知在等差数列中，公差，其前n项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）由，，
得，解得，
所以等差数列的通项公式为．
（2）当时，
．
当时，
．
故．
22．已知数列的各项均为正数，其前项和满足．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设数列，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）由题意，数列的各项均为正数，且满足．
当时，，
可得，即，
因为，所以，
当时，，解得．
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列．
所以数列是等差数列为．
（2）由（1）知，可得，
所以.
23．等差数列中，，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由已知等差数列中，，由可得，
由等差数列的定义可得：是以为首项，以为公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）得.
所以.
24．已知数列，其前项和记为，满足，.
（1)求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为，
所以，
即是等差数列，且公差，
又，，
所以，
即
（2）因为，
所以
，
即.
25．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
（1）数列是否为等差数列？说明理由．
（2）求an.
【答案】（1）是等差数列，理由见解析；（2）an＝.
解：（1）数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋，∴－＝，
所以数列是以首项为＝，公差为d＝的等差数列．
（2）由（1）可知，＝＋(n－1)d＝，∴an＝.
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