2.7.1 抛物线的标准方程 课时练习-2021-2022学年高二上学期数学 人教B版（2019）选择性必修第一册（Word含答案）

课时跟踪检测 抛物线的标准方程
[A级]
1．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．6
C．8 D．12
2．(2020·北京高考)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线(　　)
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
3．(多选)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为(　　)
A．(0，－4) B．(0，－2)
C．(0，2) D．(0，4)
4．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|＋|NF|＝8，则MN的中点到准线的距离为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．
5．已知F为抛物线C：y2＝6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则|AB|＝(　　)
A．6 B．8
C．10 D．12
6．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为________．
7．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为_______，准线方程为________．
8．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________．
9．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
10．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
[B级]
11．阿基米德(公元前287年～212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：(1)P点必在抛物线的准线上；(2)△PAB为直角三角形，且PA⊥PB；(3)PF⊥AB.若经过抛物线y2＝4x焦点的一条直线为AB，阿基米德三角形为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为(　　)
A．x－2y－1＝0 B．2x＋y－2＝0
C．x＋2y－1＝0 D．2x－y－2＝0
12．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，若∠PFx＝60°，则(　　)
A．△PQF为等边三角形 B．|PQ|＝4
C．S△PQF＝4 D．xP＝4
13．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1).
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
14．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6，0)，求抛物线的方程．
[C级]
15.如图所示，A地在B地东偏北45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电．
(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；
(2)问变电房M应建在相对A地的什么位置(方位和距离)，才能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度．
参考答案
1． B　
2． B　
3． BC　
4． B　
5． B　
6．
7． (1，0)　x＝－1
8．
9．
解：设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2ax(a≠0)，点A(m，－3).
由抛物线的定义得|AF|＝＝5，
又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
10．
解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，
则|MN|＝|MF|＝5，又|MN|＝3＋，∴3＋＝5，
即p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2.
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F.∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
11． A　
12． ABC　
13．②④
14．
解：设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
则其准线为x＝－.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为|AF|＋|BF|＝8，
所以x1＋＋x2＋＝8，
即x1＋x2＝8－p.
因为Q(6，0)在线段AB的垂直平分线上，所以|QA|＝|QB|，
即＝，
又y＝2px1，y＝2px2，
所以(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0，
因为AB与x轴不垂直，所以x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线的方程为y2＝8x.
15.
解：(1)如图所示，以过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系xOy，则B(0，2)，A(2，4).
因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0，2)为焦点，l为准线的抛物线．设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y.
(2)要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|＋|MB|的值最小．
如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得|MB|＝|MH|，所以|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MH|，故当A，M，H三点共线时，|MA|＋|MH|取得最小值，即|MA|＋|MB|取得最小值，此时M.
故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km处时，所用电线长度最短，最短长度为6 km.