2.8直线与圆锥曲线的位置关系 课时检测——2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 2.8直线与圆锥曲线的位置关系 课时检测——2021-2022学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册（Word含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 152.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-20 22:16:22 | ||
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文档简介
课时跟踪检测 直线与圆锥曲线的位置关系
[A级]
1．已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )
A．1 B．1或2
C．2 D．0
2．在抛物线y＝x2上，到直线2x－y－4＝0的距离最小的点的坐标为( )
A． B．
C．(1，1) D．(2，4)
3．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．∪
4．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为( )
A．6 B．15
C．20 D．12
5．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
6．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(07．(2020·新高考全国卷Ⅰ)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________．
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．
9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
10．(2020·全国卷Ⅱ)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
[B级]
11．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
12．(多选)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点E(t，2)到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的是( )
A．抛物线的方程是x2＝2y
B．抛物线的准线是y＝－1
C．sin ∠QMN的最小值是
D．线段AB的最小值是6
13．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为( )
A．1 B．－1
C．－ D．以上都不对
14．双曲线C的中心在原点，右焦点为F，渐近线方程为y＝±x.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？
[C级]
15．已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，交抛物线C于点N.
(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
(2)是否存在实数k，使得·＝0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1． C
2． C
3． C
4． D
5． B
6． x2＋y2＝1
7．
8． [2，＋∞)
9．解：把直线方程y＝x＋m代入椭圆方程4x2＋y2＝1，得4x2＋(x＋m)2＝1，即5x2＋2mx＋m2－1＝0.
则Δ＝(2m)2－4×5×(m2－1)＝－16m2＋20＞0，
解得－＜m＜.
设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
根据弦长公式，得
·＝，
解得m＝0.
因此，所求直线的方程为y＝x.
10．
解：(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，
其中c＝.
不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.
由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－2.解得＝－2(舍去)，＝.
所以C1的离心率为.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.
设M(x0，y0)，则 eq \f(x,4c2) ＋ eq \f(y,3c2) ＝1，y＝4cx0，故 eq \f(x,4c2) ＋＝1.①
由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得＋＝1，
即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，c＝3.
所以C1的标准方程为＋＝1，
C2的标准方程为y2＝12x.
11． B
12． BC
13． C
14．
解：(1)设双曲线的方程是－＝1(a＞0，b＞0)，则c＝，＝.又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝1，a2＝.
∴双曲线的方程是3x2－y2＝1.
(2)由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.
由Δ＞0，且3－k2≠0，得－＜k＜，且k≠±.
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB.
∴x1x2＋y1y2＝0.
又∵x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，
∴＋1＝0，解得k＝±1.
故当k＝±1时，以AB为直径的圆过原点．
15．
解：(1)证明：法一：如图所示，设A(x1，2x)，B(x2，2x).
把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝－1，
∴xN＝xM＝＝，
∴N点的坐标为.
设抛物线在点N处的切线l的方程为
y－＝m.
将y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋－＝0.
∵直线l与抛物线C相切，
∴Δ＝m2－8＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，
∴m＝k，即l∥AB.
法二：设A(x1，2x)，B(x2，2x).
把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝－1，
∴xN＝xM＝＝，
∴N点的坐标为.
∵y＝2x2，∴y′＝4x，
∴抛物线在点N处的切线l的斜率为4×＝k，
∴l∥AB.
(2)假设存在实数k，使得·＝0，则NA⊥NB，
又∵M是AB的中点，∴|MN|＝|AB|.
由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)＝[k(x1＋x2)＋4]＝＝＋2.
∵MN⊥x轴，
∴|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝.
又∵|AB|＝·|x1－x2|
＝·
＝·
＝ ·，
∴＝ ·，解得k＝±2，
即存在k＝±2，使得·＝0.
[A级]
1．已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )
A．1 B．1或2
C．2 D．0
2．在抛物线y＝x2上，到直线2x－y－4＝0的距离最小的点的坐标为( )
A． B．
C．(1，1) D．(2，4)
3．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．∪
4．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为( )
A．6 B．15
C．20 D．12
5．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
6．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0
8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．
9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
10．(2020·全国卷Ⅱ)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
[B级]
11．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
12．(多选)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点E(t，2)到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的是( )
A．抛物线的方程是x2＝2y
B．抛物线的准线是y＝－1
C．sin ∠QMN的最小值是
D．线段AB的最小值是6
13．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为( )
A．1 B．－1
C．－ D．以上都不对
14．双曲线C的中心在原点，右焦点为F，渐近线方程为y＝±x.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线l：y＝kx＋1与双曲线C交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？
[C级]
15．已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，交抛物线C于点N.
(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
(2)是否存在实数k，使得·＝0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
参考答案
1． C
2． C
3． C
4． D
5． B
6． x2＋y2＝1
7．
8． [2，＋∞)
9．解：把直线方程y＝x＋m代入椭圆方程4x2＋y2＝1，得4x2＋(x＋m)2＝1，即5x2＋2mx＋m2－1＝0.
则Δ＝(2m)2－4×5×(m2－1)＝－16m2＋20＞0，
解得－＜m＜.
设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
根据弦长公式，得
·＝，
解得m＝0.
因此，所求直线的方程为y＝x.
10．
解：(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，
其中c＝.
不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.
由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－2.解得＝－2(舍去)，＝.
所以C1的离心率为.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.
设M(x0，y0)，则 eq \f(x,4c2) ＋ eq \f(y,3c2) ＝1，y＝4cx0，故 eq \f(x,4c2) ＋＝1.①
由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得＋＝1，
即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，c＝3.
所以C1的标准方程为＋＝1，
C2的标准方程为y2＝12x.
11． B
12． BC
13． C
14．
解：(1)设双曲线的方程是－＝1(a＞0，b＞0)，则c＝，＝.又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝1，a2＝.
∴双曲线的方程是3x2－y2＝1.
(2)由得(3－k2)x2－2kx－2＝0.
由Δ＞0，且3－k2≠0，得－＜k＜，且k≠±.
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB.
∴x1x2＋y1y2＝0.
又∵x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，
∴＋1＝0，解得k＝±1.
故当k＝±1时，以AB为直径的圆过原点．
15．
解：(1)证明：法一：如图所示，设A(x1，2x)，B(x2，2x).
把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝－1，
∴xN＝xM＝＝，
∴N点的坐标为.
设抛物线在点N处的切线l的方程为
y－＝m.
将y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋－＝0.
∵直线l与抛物线C相切，
∴Δ＝m2－8＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，
∴m＝k，即l∥AB.
法二：设A(x1，2x)，B(x2，2x).
把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝－1，
∴xN＝xM＝＝，
∴N点的坐标为.
∵y＝2x2，∴y′＝4x，
∴抛物线在点N处的切线l的斜率为4×＝k，
∴l∥AB.
(2)假设存在实数k，使得·＝0，则NA⊥NB，
又∵M是AB的中点，∴|MN|＝|AB|.
由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)＝[k(x1＋x2)＋4]＝＝＋2.
∵MN⊥x轴，
∴|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝.
又∵|AB|＝·|x1－x2|
＝·
＝·
＝ ·，
∴＝ ·，解得k＝±2，
即存在k＝±2，使得·＝0.