2021-2022学年人教版数学八年级上册13.3.2.1等边三角形的性质和判定课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
13.3.2.1 等边三角形的性质与判定
八年级上册
学习目标
1、掌握等边三角形的性质.
2、掌握等边三角形的判定方法.
3、会灵活运用性质和判定方法解决实际问题.
学习重难点
重点
难点
等边三角形的性质和判定方法。
会灵活运用性质和判定方法解决实际问题。
下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？
导入
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
定义类比：
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，这时三角形三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
等边三角形的定义
A
B
C
等边三角形是特殊的等腰三角形.
等边三角形的定义
有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
满足什么条件的三角形是等边三角形
满足什么条件的三角形是等腰三角形
三边都相等的三角形是等边三角形（定义）
三个角都相等的三角形是等边三角形.
方法一：从边看
方法二：从角看
方法一：
方法二：
比较
图形 等腰三角形
　性 质
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
三个角都相等，
对称轴（3条）
等边三角形
对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
且都是60
两条边相等
三条边都相等
A
B
C
A
B
C
等边三角形的性质
A
C
B
D
E
如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm.
12
针对训练
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
想一想
等边三角形的判定方法：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
图形 等腰三角形 判 定
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
∵ ∠A= ∠ B= ∠ C
∴△ABC是等边三角形
∵ ∠A=60°，AB=BC
∴△ABC是等边三角形
等边三角形的判定
例1 如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，
∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°，
∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，
∴∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.
同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.
即△DEF各个内角的度数都是60°.
例题
1.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为(　　)
A．25° B．60° C．85° D．95°
D
针对训练
2.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是(　　)
A．180° B．220° C．240° D．300°
针对训练
C
3.如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
A
针对训练
例2 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A=∠B=∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
∴ ∠A=∠ADE=∠AED.
∴ △ADE是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
例题
上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗 试说明理由.
A
C
B
D
E
如图,在等边三角形ABC中，AD=AE, 求证：△ADE是等边三角形.
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
∴ ∠A=∠ADE=∠AED.
∴ △ADE是等边三角形.
变式训练
例3 如图，已知△ABC是等边三角形，D为边 AC的中点，AE⊥EC，BD＝EC，证明：△ADE是等边三角形．
例题
证明：∵△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，BD⊥AC.
∵AE⊥EC，∴∠BDA＝∠CEA＝90°.
在Rt△ABD 和Rt△ACE中， AB＝AC，
BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，∠EAD＝∠BAD＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
例题
1.下列三角形：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有(　　)
A．①②③ B．①②④
C．①③ D．①②③④
D
针对训练
2.如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于 点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB平分∠AMC，其中结论正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
针对训练
1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为___cm.
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2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）
A. 4个 B. 5个
C. 6个 D. 7个
D
A
C
B
D
E
O
课堂练习
B
C
D
A
E
3.如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数.
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴∠CBA=60°.
∵BD是AC边上的中线，
∴∠BDA=90°, ∠DBA=30 °.
∵BD=BE，
∴ ∠BDE=(180 °- ∠DBA) ÷2 =(180°-30°) ÷2=75°.
∴ ∠EDA=90 °- ∠BDE=90°-75°=15°.
课堂练习
4.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，
求∠AEB的大小.
C
B
O
D
A
E
解：
∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形.
∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°.
∵ A、O、D三点共线，
∴∠DOB=∠COA=120°，
∴△COA ≌△DOB(SAS).
∴ ∠DBO=∠CAO.
设OB与EA相交于点F,
∵ ∠EFB=∠AFO，
∴ ∠AEB=∠AOB=60°.
F
课堂练习
5.如图，已知△ABC是等边三角形，D为边 AC的中点，AE⊥EC，BD＝EC，证明：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，BD⊥AC.
∵AE⊥EC，∴∠BDA＝∠CEA＝90°.
在Rt△ABD 和Rt△ACE中， AB＝AC，
BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠EAD＝∠BAD＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
课堂练习
等边
三角形
定义
底=腰
特殊性
性质
特殊性
边
三边相等
角
三个角都等于60 °
轴对称性
轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质
判定
特殊性
三边法
三角法
等腰三角形法
总结
再 见