第3章 圆周运动素养培优课：圆周运动规律及其应用（Word版含解析）

圆周运动规律及其应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一轻杆一端固定一质量为M的小球，另一端连在轴上，并可绕轴在竖直平面内运动，不计空气阻力，在最低点给小球一水平速度v0时，小球刚好能到达最高点，若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大，则可知(　　)
A．小球在最高点对杆的作用力不断增大
B．小球在最高点对杆的作用力先减小后增大
C．小球在最高点对杆的作用力不断减小
D．小球在最高点对杆的作用力先增大后减小
2．如图所示，圆盘绕过圆心且垂直于盘面的轴匀速转动，其上有a、b、c三点，已知Oc＝Oa，则下列说法中错误的是(　　)
A．a、b两点线速度相同
B．a、b、c三点的角速度相同
C．c点的线速度大小是a点线速度大小的一半
D．a、b、c三点的运动周期相同
3．(多选)有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动。如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h，下列说法中正确的是(　　)
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大
D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
4．如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0．8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向左匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触。由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比TA∶TB为(g取10 m/s2)(　　)
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
5．有一根长为0.4 m的杆一端束缚着一个质量为0.5 kg的小球，并绕杆的另一端以2 rad/s的角速度在竖直平面内做匀速圆周运动，则小球在最低点和最高点对杆的作用力分别为(　　)
A．5.8 N，方向竖直向上；4.2 N，方向竖直向下
B．5.8 N，方向竖直向上；4.2 N，方向竖直向上
C．5.8 N，方向竖直向下；4.2 N，方向竖直向下
D．5.8 N，方向竖直向下；4.2 N，方向竖直向上
6．如图所示，滑块M能在水平光滑杆上自由滑动，滑杆固定在转盘上，M用绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连。当转盘以角速度ω转动时，M离轴距离为r，且恰能保持稳定转动。当转盘转速增到原来的2倍，调整r使之达到新的稳定转动状态，则滑块M(　　)
A．所受向心力变为原来的4倍
B．线速度变为原来的
C．转动半径r变为原来的
D．角速度变为原来的
7.如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上。小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)。现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止。则后一种情况与原来相比较，下列说法中正确的是(　　)
A．Q受到桌面的支持力变大
B．Q受到桌面的静摩擦力变大
C．小球P运动的角速度变小
D．小球P运动的周期变大
8.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，使其在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的水的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳的拉力大小为5 N
9.质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小为(　　)
A．mω2R　　　 B．m
C．m D．不能确定
10.质量为M的物体中央有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道的竖直面做圆周运动，A、C为圆形轨道的最高点和最低点，B、D与圆心O在同一水平线上。小滑块运动时，物体M保持静止，关于物体M对地面的压力FN和地面对物体的摩擦力，下列说法正确的是(　　)
A．滑块运动到A点时，FN>Mg，摩擦力方向向左
B．滑块运动到B点时，FNC．滑块运动到C点时，FN＝(M＋m)g，物体与地面间无摩擦力
D．滑块运动到D点时，FN＝Mg，摩擦力方向向左
二、计算题
11．AB是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，下端B与水平直轨道相切，如图所示。一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑。已知圆弧轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦。求：
(1)小球运动到B点时的动能；
(2)小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力NB、NC各是多大。
12.如图所示，两绳系着一个质量为m＝0.1 kg的小球C，上面绳长l＝2 m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°与45°。问球的角速度ω满足什么条件时，两绳始终张紧？(g取10 m/s2)
13.如图所示，一个半径为R＝1.5 m的金属圆环竖直固定放置，环上套有一个质量为m的小球，小球可在环上自由滑动，与环间的动摩擦因数为0.75。不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2。当小球逆时针滑动经过环的最高点时：(结果可用根号表示)
(1)若此刻环对小球的摩擦力为零，求此刻小球的速率；
(2)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻环对小球的作用力大小；
(3)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻小球的速率。
参考答案：
一、选择题
1．一轻杆一端固定一质量为M的小球，另一端连在轴上，并可绕轴在竖直平面内运动，不计空气阻力，在最低点给小球一水平速度v0时，小球刚好能到达最高点，若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大，则可知(　　)
A．小球在最高点对杆的作用力不断增大
B．小球在最高点对杆的作用力先减小后增大
C．小球在最高点对杆的作用力不断减小
D．小球在最高点对杆的作用力先增大后减小
B　[杆既能给小球支持力，又能给小球拉力，也就是说，杆在最高点给小球的弹力既可能向上又可能向下，因此，小球在最高点的速度可以为零。当最高点小球速度为零时，杆对小球的作用力为支持力且等于mg。随着速度的增大，支持力逐渐减小，当v＝时，杆的作用力为零，当速度继续增大时，杆对小球的作用力为拉力且不断增大，故选B。]
2．如图所示，圆盘绕过圆心且垂直于盘面的轴匀速转动，其上有a、b、c三点，已知Oc＝Oa，则下列说法中错误的是(　　)
A．a、b两点线速度相同
B．a、b、c三点的角速度相同
C．c点的线速度大小是a点线速度大小的一半
D．a、b、c三点的运动周期相同
A　[同轴转动的不同点角速度相同，B正确；根据T＝知，a、b、c三点的运动周期相同，D正确；根据v＝ωr可知c点的线速度大小是a点线速度大小的一半，C正确；a、b两点线速度的大小相等，方向不同，A错误。]
3．(多选)有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动。如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h，下列说法中正确的是(　　)
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大
D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
BC　[摩托车受力分析如图所示。由于N＝，所以摩托车受到侧壁的支持力与高度无关，保持不变，摩托车对侧壁的压力N′也不变，A错误；由F＝mg tan θ＝m＝mω2r知，h变化时，向心力F不变，但高度升高，r变大，所以线速度变大，角速度变小，周期变大，选项B、C正确，D错误。]
4．如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0．8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向左匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触。由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比TA∶TB为(g取10 m/s2)(　　)
A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4
C　[小车突然停止，B球将做圆周运动，所以TB＝m＋mg＝30m；A球将静止，TA＝mg＝10m，故此时悬线中张力之比为TA∶TB＝1∶3，C选项正确。]
5．有一根长为0.4 m的杆一端束缚着一个质量为0.5 kg的小球，并绕杆的另一端以2 rad/s的角速度在竖直平面内做匀速圆周运动，则小球在最低点和最高点对杆的作用力分别为(　　)
A．5.8 N，方向竖直向上；4.2 N，方向竖直向下
B．5.8 N，方向竖直向上；4.2 N，方向竖直向上
C．5.8 N，方向竖直向下；4.2 N，方向竖直向下
D．5.8 N，方向竖直向下；4.2 N，方向竖直向上
C　[小球在最低点有N1－mg＝mω2r，解得N1＝5.8 N，方向竖直向上，根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力方向竖直向下。小球在最高点有mg－N2＝mω2r，解得N2＝4.2 N，方向竖直向上，根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力方向竖直向下，选项C正确，A、B、D错误。]
6．如图所示，滑块M能在水平光滑杆上自由滑动，滑杆固定在转盘上，M用绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连。当转盘以角速度ω转动时，M离轴距离为r，且恰能保持稳定转动。当转盘转速增到原来的2倍，调整r使之达到新的稳定转动状态，则滑块M(　　)
A．所受向心力变为原来的4倍
B．线速度变为原来的
C．转动半径r变为原来的
D．角速度变为原来的
B　[转速增加，再次稳定时，M做圆周运动的向心力仍由拉力提供，拉力仍然等于物体m的重力，所以向心力不变，故A错误；转速增到原来的2倍，则角速度变为原来的2倍，根据F＝mrω2，向心力不变，则r变为原来的。根据v＝rω，线速度变为原来的，故B正确，C、D错误。]
7.如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上。小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)。现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止。则后一种情况与原来相比较，下列说法中正确的是(　　)
A．Q受到桌面的支持力变大
B．Q受到桌面的静摩擦力变大
C．小球P运动的角速度变小
D．小球P运动的周期变大
B　[根据小球做圆周运动的特点，设细线与竖直方向的夹角为θ，故FT＝，对金属块受力分析，由平衡条件，Ff＝FTsin θ＝mg tan θ，FN＝FTcos θ＋Mg＝mg＋Mg，故在θ增大时，Q受到的支持力不变，静摩擦力变大，选项A错误，B正确；设细线的长度为L，由mg tan θ＝mω2L sin θ，得ω＝，故角速度变大，周期变小，选项C、D均错误。]
8.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，使其在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g取10 m/s2)(　　)
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的水的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳的拉力大小为5 N
B　[“水流星”刚好通过最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此可知，绳的拉力恰好为零，容器底部对水的压力也为零，且水恰不流出容器，处于完全失重状态，只受重力作用，故选B。]
9.质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小为(　　)
A．mω2R　　　 B．m
C．m D．不能确定
C　[小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动。这两个力的合力提供向心力，方向指向圆心，如图所示。用力的合成法可得杆对球的作用力N＝ eq \r(（mg）2＋F)＝m，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的反作用力N′＝N，C正确。]
10.质量为M的物体中央有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道的竖直面做圆周运动，A、C为圆形轨道的最高点和最低点，B、D与圆心O在同一水平线上。小滑块运动时，物体M保持静止，关于物体M对地面的压力FN和地面对物体的摩擦力，下列说法正确的是(　　)
A．滑块运动到A点时，FN>Mg，摩擦力方向向左
B．滑块运动到B点时，FNC．滑块运动到C点时，FN＝(M＋m)g，物体与地面间无摩擦力
D．滑块运动到D点时，FN＝Mg，摩擦力方向向左
D　[滑块在A、C点时，滑块对物体的作用力在竖直方向上，系统在水平方向不受力的作用，所以物体与地面间没有摩擦力的作用，A错误；滑块在B点时，需要的向心力向右，所以物体对滑块有向右的支持力的作用，对物体进行受力分析可知，地面对物体有向右的摩擦力的作用。在竖直方向上，由于没有加速度，物体受力平衡，所以物体对地面的压力FN＝Mg，B错误；滑块在C点时，滑块需要的向心力向上，所以滑块对物体的压力大于滑块的重力，则物体对地面的压力大于(M＋m)g，C错误；滑块在D点和B点的受力情况类似，由B项分析可知，FN＝Mg，物体受到地面的摩擦力方向向左，D正确。]
二、计算题
11．AB是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，下端B与水平直轨道相切，如图所示。一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑。已知圆弧轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦。求：
(1)小球运动到B点时的动能；
(2)小球经过圆弧轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力NB、NC各是多大。
[解析]　(1)小球自A点由静止开始沿轨道运动到最低点B的过程中，只有重力做功，机械能守恒。取BC水平面为零势能面，则mgR＝mv
B点的动能为Ek＝mv＝mgR。
(2)小球运动到B点时，由牛顿第二定律得，
NB－mg＝m eq \f(v,R)
则NB＝3mg
到达C点时，竖直方向由平衡条件得：
NC＝mg。
[答案]　(1)mgR　(2)3mg　mg
12.如图所示，两绳系着一个质量为m＝0.1 kg的小球C，上面绳长l＝2 m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°与45°。问球的角速度ω满足什么条件时，两绳始终张紧？(g取10 m/s2)
[解析]　对小球受力分析，如图所示。
当BC绳恰好拉直，但没有拉力存在时，
有T1cos 30°＝mg
T1sin 30°＝ml sin 30°·ω
解得ω1≈2.4 rad/s；
当AC绳恰好拉直，但没有拉力存在时，
有T2cos 45°＝mg
T2sin 45°＝ml sin 30°·ω
解得ω2≈3.16 rad/s
所以要使两绳始终张紧，ω必须满足的条件是
2．4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s。
[答案]　2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s
13.如图所示，一个半径为R＝1.5 m的金属圆环竖直固定放置，环上套有一个质量为m的小球，小球可在环上自由滑动，与环间的动摩擦因数为0.75。不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2。当小球逆时针滑动经过环的最高点时：(结果可用根号表示)
(1)若此刻环对小球的摩擦力为零，求此刻小球的速率；
(2)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻环对小球的作用力大小；
(3)若此刻环对小球的摩擦力大小为0.3mg，求此刻小球的速率。
[解析]　(1)环对小球的摩擦力f＝0时，环对小球的弹力N＝0，则有mg＝m
解得小球速率v＝ m/s。
(2)滑动摩擦力f＝μN，将f＝0.3 mg、μ＝0.75代入得环对小球的弹力大小N＝＝＝0.4 mg
弹力方向与摩擦力方向垂直，由力的合成可知环对小球的作用力大小F＝＝0.5 mg。
(3)由(2)可知，环对小球的弹力大小N＝0.4mg
当环对小球的弹力方向向上时，有mg－N＝ eq \f(mv,R)
解得小球的速率v1＝3 m/s
当环对小球的弹力方向向下时，有mg＋N＝ eq \f(mv,R)
解得小球的速率v2＝ m/s。
[答案]　(1) m/s　(2)0.5mg
(3)3 m/s或 m/s
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