淮安市高中校协作体 2021～2022 学年第一学期高三年级期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题（本大题共有 8 小题，每题 5 分，共 40 分）”
1．已知 = { | + ≥ }， B { 2, 1,0,1}，则( ) ∩ =( )
A．{ 2, 1} B．{ 2} C．{ 1,0,1} D．{0,1}
2．在ΔABC 中，“ cos A cosB ”是“ A B ”的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．若命题 p： x > 0， x2 x 1 0，则 p的否定形式为( )
A． x 0， x2 x 1 0 B． x 0， x2 x 1 0
C． x 0， x2 x 1 0 D． x 0， x2 x 1 0
4 ( ) =
．函数 的部分图象可能为( ) +
A． B． C． D．
5．函数 ( ) = + 在 0, 内的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知角 的终边经过点 ( , ),，则角 可以为( )
,
5 2 11 5π
A． B． C． D．
6 3 6 3
7．已知函数 f x 的导函数的图象如右图所示，则下列结论正确的是( )
A． 3是 f x 的极小值点 B． 1是 f x 的极小值点
C． f x 在区间 ,3 上单调递减 D．曲线 y f x 在 x 2处的切线斜率小于零
log2 x, x 1
8．已知函数 f x 1 ,则不等式 ( ) < 的解集为( )
, x 1 1 x
A． , 2 B．( ∞, ) ∪ [ , )
C． 0,2 D．( ∞, ] ∪ [ , )
二、多项选择题（本大题共有 4 小题，每题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部
选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.）
第 1页（共 4 页）
9．若6b 3，6a 2 ,则（ ）
b 1 1A B 2 2
1 1
． ． ab C． a b D．b a
a 4 2 10
10．已知函数 f (x) 2sin
x ，若将函数 f (x)
1
的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再向右平移
2 6 4
6 个单位长度，得到函数
g(x)的图象，则下列命题正确的是（ ）
A．函数 g(x)的解析式为 g(x) 2sin 2x
B．函数 f (x)的周期为 4
6
C．函数 g(x) 在区间 ,
4 f (x) x 上单调递增 D．函数 图象的一条对称轴是直线 3 3
11．在△ ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，则下列的结论中正确的是（ ）
A．若cos A cosB，则 sin A sin B
B．若 sin Acos A sin BcosB ，则△ ABC一定是等腰三角形
C．若△ ABC是锐角三角形，则 sin A sin B sinC cos A cos B cosC
D．已知△ ABC不是直角三角形，则 tan A tan B tanC tan A tan B tanC
12．设函数 f x ex ax 1 a N ，若 f x 0恒成立，则实数 a的可能取值是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
三、填空题（本大题共有 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
2
13．若 x 0, 4 +9， ≥ ，则实数m的取值范围为___________.
14．在锐角三角形ΔABC 中， =4， AB 5，AC=2，则 BC ________
15．设 a R ，关于 x的方程 ( + ) + + = 有两实数根 x1， x2，且0 x1 1 x2 2，则
实数 a的取值范围是______．
16 3．对于三次函数 f x ax bx2 cx d a 0 ，给出定义：设 f x 是函数 y f x 的导数， f x 是
f x 的导数，若方程 f x 0有实数解 x0，则称点 x0 , f x0 为函数 y f x 的“拐点”，同学经过探究发
现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若
( ) = + ，请你根据这一发现，求：（1）函数 f x 的对称中心为___________；（2）计算
f 1 f 2 f 3 2021 f ___________.（两个全对给 5 分，对一个给 3分）
2022 2022 2022 2022
四、解答题（本大题共有 6 小题，第 17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分）
17．已知集合 = { | ≤ }, = { | + ≤ , > }.
（1）若m 2，求 ∩ ( )；
（2） x A是 x B的_________条件，若实数m的值存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.(请在
①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处)注：如果选择多个条件分别解答，
则按第一个解答计分.
第 2页（共 4 页）
18．函数 f x Asin x (A 0, 0)的部分图象如右图：
（1）求其解析式;
（2）写出函数 f x Asin x (A 0, 0)在[0，2]上的单调递减区间．
19．已知函数 ( ) = （ 是正常数）.
（1）当 = 时，求 ( )的单调区间与极值；
（2）若 x > 0， ( ) < ，求 的取值范围；
20．某商场以 100 元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过
市场调查发现：
①销售量 r（x）（件）与衬衣标价 x（元/件）在销售旺季近似地符合函数关系：r（x）=kx+b1，在销售淡季
近似地符合函数关系：r（x）=kx+b2，其中 k<0，b1，b2>0 且 k，b1，b2为常数；
②在销售旺季，商场以 140 元/件的价格销售能获得最大销售利润；
③若称①中 r（x）=0 时的标价 x 为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”
的 1.5 倍.
请根据上述信息，完成下面问题：
（1）写出销售旺季与淡季，销售总利润 y（元）与标价 x（元/件）的函数关系式.
（2）在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件？
第 3页（共 4 页）
21．在ΔABC 中， a、b、 c分别为内角A、 B、C的对边，且 2asin A 2b c sin B 2c b sinC．
（1）求A的大小；
（2）若 sin B sinC 1，试判断ΔABC 的形状；
（3）若 = ，求ΔABC 周长的最大值．
22 x 2．已知函数 f x e a x 1 a R .
（1）讨论函数 f x 极值点的个数；
（2）若 f x 有两个零点，证明： a2 a lna 1 0 .
第 4页（共 4 页）淮安市高中校协作体 2021～2022 学年第一学期高三年级期中考试
数学试卷参考答案
一、单项选择题（本大题共有 8 小题，每题 5 分，共 40 分）
1．已知 = { | + ≥ }， B { 2, 1,0,1}，则( ) ∩ =( )
A．{ 2, 1} B．{ 2} C．{ 1,0,1} D．{0,1}
【答案】B
2．在ΔABC 中，“ cos A cosB ”是“ A B ”的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
3．若命题 p： x > 0， x2 x 1 0，则 p的否定形式为( )
A． x 0， x2 x 1 0 B． x 0， x2 x 1 0
C． x 0， x2 x 1 0 D． x 0， x2 x 1 0
【答案】A
4．函数 ( ) =
的部分图象可能为( )
+
A． B． C． D．
【答案】D
5．函数 ( ) = + 在 0, 内的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
6 ．已知角 的终边经过点 ( , ),，则角 可以为( )
,
5 2 11 5π
A． B． C． D．
6 3 6 3
【答案】B
7．已知函数 f x 的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A． 3是 f x 的极小值点 B． 1是 f x 的极小值点
C． f x 在区间 ,3 上单调递减 D．曲线 y f x 在 x 2处的切线斜率小于零
【答案】D
第 1页（共 7页）
log2 x, x 1
8．已知函数 f x 1 ,则不等式 ( ) < 的解集为( )
, x 1 1 x
A． , 2 B．( ∞, ) ∪ [ , )
C． 0,2 D．( ∞, ] ∪ [ , )
【答案】B
二、多项选择题（本大题共有 4 小题，每题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部
选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.）
9．若6b 3，6a 2 ,则（ ）
b
A． 1
1 1 1
B． ab C 2． a b2 D．b a
a 4 2 10
【答案】ABD
x
10．已知函数 f (x) 2sin ，若将函数 f (x)
1
的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再向右平移
2 6 4
6 个单位长度，得到函数
g(x)的图象，则下列命题正确的是（ ）
A．函数 g(x)的解析式为 g(x)
2sin 2x B．函数 f (x)的周期为 4
6
g(x) , 4 C ．函数 在区间 上单调递增 D．函数 f (x)
图象的一条对称轴是直线 x
3 3
【答案】ABC
11．在△ ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，则下列的结论中正确的是（ ）
A．若cos A cosB，则 sin A sin B
B．若 sin Acos A sin BcosB ，则△ ABC一定是等腰三角形
C．若△ ABC是锐角三角形，则 sin A sin B sinC cos A cos B cosC
D．已知△ ABC不是直角三角形，则 tan A tan B tanC tan A tan B tanC
【答案】ACD
12．设函数 f x ex ax 1 a N ，若 f x 0恒成立，则实数 a的可能取值是（ ）
A．1 B．2 C．e D．3
【答案】ABD
三、填空题（本大题共有 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
4 213．若 x 0, +9， ≥ ，则实数m的取值范围为___________.
【答案】( ∞,12]
14．在锐角三角形ΔABC 中， =4， AB 5，AC=2，则 BC ________
【答案】 17
15．设 a R ，关于 x的方程 ( + ) + + = 有两实数根 x1， x2，且0 x1 1 x2 2，则
实数 a的取值范围是______．
【答案】( , ) ∪ ( , )
第 2页（共 7页）
16 3．对于三次函数 f x ax bx2 cx d a 0 ，给出定义：设 f x 是函数 y f x 的导数， f x 是
f x 的导数，若方程 f x 0有实数解 x0，则称点 x0 , f x0 为函数 y f x 的“拐点”，同学经过探究发
现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若
( ) = + ，请你根据这一发现，求：（1）函数 f x 的对称中心为___________；（2）计算
f 1 f 2 f 3 2021 f 2022 2022 2022
___________.
2022
( 1【答案】 , 1), 2021
2
四、解答题（本大题共有 6 小题，第 17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分）
17．已知集合 = { | ≤ }, = { | + ≤ , > }.
（1）若m 2，求 ∩ ( )；
（2） x A是 x B的_________条件，若实数m的值存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.(请在
①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处)注：如果选择多个条件分别解答，
则按第一个解答计分.
解:（1）由不等式 = ( )( + ) ≤ ，
解得 3 ≤ x ≤ 4，可得 A = {x| 3 ≤ x ≤ 4} ……………………………………2 分
当m 2时，不等式 2 2 3 = ( + 3)( 1) ≤ 0
解得 1 x 3，即 B x | 1 x 3 ……………………………………4 分
可得 = { | < 1或 x 3}，
所以 A ∩ (CRB) = {x| 3 ≤ x < 1或 3 < x ≤ 4} ……………………………………5 分
（2）由不等式 2 2 + 1 2 = ( 1)( + 1) ≤ 0( > 0)
解得 1 m ≤ x ≤ 1 + m
所以 B = {x|1 m ≤ x ≤ 1 + m,m > 0} ……………………………………7 分
1 ≤ 3
若选择条件①，则集合A是 B的真子集，得 4 ≤ 1 + ，解得 m ≥ 4 …………………10 分
> 0
1 ≥ 3
若选择条件②，则集合 B是A的真子集，得 4 ≥ 1 + ，解得0 m 3 …………………10 分
> 0
1 = 3
若选择条件③，则集合 A B，得 4 = 1 + 无解，所以不存在满足条件③的实数m .……10 分
> 0
18．函数 f x Asin x (A 0, 0)的部分图象如图：
（1）求其解析式;
（2）写出函数 f x Asin x (A 0, 0) 在[0，2]上的单调递减区间．
, A 2,T 7 解:（1）由图象知
，所以 2
，又过点 ,08 8
，
8
第 3页（共 7页）
令 2 0，得
,所以 y 2sin 2x
8 4 4
……………………………………6 分
3 5 5
（2）由 2k 2x 2k k Z 可得 k x k k Z ,当 k = 0时 , x ,
2 4 2 8 8 8 8
故函数在[0，2]上的单调递减区间为[8，2] ……………………………………12 分
19．已知函数 ( ) = （ 是正常数）.
（1）当 = 时，求 ( )的单调区间与极值；
（2）若 x > 0， ( ) < ，求 的取值范围；
解：（1）当 = 时，f(x) = lnx x，定义域为 0, ， ( ) = 1 1 = 1
令 f x 0，解得 0 < x < 1，令 f x 0，解得 x > 1
所以函数 f x 在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减
所以 f x 的极大值是 f(1) = 1，无极小值 .……………………………………6 分
ln x
（2）因为 x 0， f x 0 ，即 ln x ax 0恒成立，即 a .
x max
设 g x ln x 1 ln x ，可得 g x
x x2
当0 x e时 g x 0，当 x e时 g x 0
1
所以 g x 在 0,e 上单调递增，在 e, 上单调递减，所以 g x g e max e
1 1
所以 a
，即 a ,
……………………………………12 分e e
20．某商场以 100 元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过
市场调查发现：
①销售量 r（x）（件）与衬衣标价 x（元/件）在销售旺季近似地符合函数关系：r（x）=kx+b1，在销售淡季
近似地符合函数关系：r（x）=kx+b2，其中 k<0，b1，b2>0 且 k，b1，b2为常数；
②在销售旺季，商场以 140 元/件的价格销售能获得最大销售利润；
③若称①中 r（x）=0 时的标价 x 为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”
的 1.5 倍.
请根据上述信息，完成下面问题：
（1）写出销售旺季与淡季，销售总利润 y（元）与标价 x（元/件）的函数关系式.
（2）在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件？
解:（1）由题意，销售旺季 r（x）=kx+b1，销售淡季 r（x）=kx+b2，衬衣成本 100 元/件
y (kx b )(x 100) kx2故销售旺季 1 100k b1 x 100b1（元） ………………………………2 分
销售淡季 y (kx b 22 )(x 100) kx 100k b2 x 100b2（元） ………………………………4 分
2 2（ ）在（1）的表达式 y kx 100k b1 x 100b1中，
第 4页（共 7页）
100k b
由 k<0 可知，在销售旺季，当 x 1 50
b
1 时，利润 y 取得最大值；
2k 2k
100k b b
在销售淡季，当 x 2 50 2 时，利润 y 取得最大值 …………………………………6 分
2k 2k
下面分销售旺季与销售淡季进行讨论：
由②知，在销售旺季，商场以 140 元/件的价格销售能获得最大销售利润，
b
因此在销售旺季，当标价 x 50 1 =140 时，利润 y 取得最大值，
2k
此时，b1=-180k，销售量 r（x）=kx-180k.令 kx-180k=0 得 x=180
故在销售旺季，衬衣的“临界价格”为 180 元/件. ……………………………………8 分
由③知，在销售淡季，衬衣的“临界价格”为 120 元/件.
可见在销售淡季，当标价 x=120 时，r（x）=kx+b2=0， 120k+b2=0， b2=-120k.
x 50 b2 50 120k在销售淡季，当 110时，利润 y 取得最大值
2k 2k
故在销售淡季，商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为 110 元/件 ……………………………12 分
21．在ΔABC 中， a、b、 c分别为内角A、 B、C的对边，且 2asin A 2b c sin B 2c b sinC．
（1）求A的大小；
（2）若 sin B sinC 1，试判断ΔABC 的形状；
（3）若 = ，求ΔABC 周长的最大值．
解:（1）因为 2asin A 2b c sin B 2c b sinC 2a2，根据正弦定理得 2b c b 2c b c ，
所以b2 c2 a2 bc
b2 c2 a2 1
由余弦定理可得 cos A
2bc 2
又 A 0, 2 ，所以， A ……………………………………4 分
3
2
（2）由（1）知 A ，又 sin B sinC 1得 sinB sin B 13 3
即 sin B 3 cos B 1 sin B 1 sin B 3 cos B sin B 1
2 2 2 2 3
因为 B
0,
2
，则 B
3 3 3 3
所以 B
即 B
C 则
3 2 6 6
则ΔABC 为等腰钝角三角形 ……………………………………8 分
2 2 2
（3）由 = ， A 及 余弦定理知 2 2 2
3 a b c 2bc cosA b c
2 b c 3 b c bc b c 2
4 4
则( + )2 ≤ 16，知
3 ( + )
4 3 2 3
= ，当且仅当 b = c = 时等号成立3 3
所以 a + b + c ≤ 2 + 4 3
3
第 5页（共 7页）
因此ΔABC 4 3周长的最大值为 2 + .……………………………………12 分
3
22 x 2．已知函数 f x e a x 1 a R .
（1）讨论函数 f x 极值点的个数；
（2）若 f x 有两个零点，证明： a2 a lna 1 0 .
x 2
解：（1）由 f x e a x 1 a R 得： f x e x 2 a
当 a 0时， f x 0恒成立， f x 在 R上单调递增，无极值点
当 a 0时，令 f x 0，解得： x ln a 2
当 x , lna 2 时， f x 0；当 x lna 2, 时， f x 0
f x 在 , ln a 2 上单调递减，在 ln a 2, 上单调递增
f x 有且仅有一个极小值点 x ln a 2，无极大值点.
综上所述：当 a 0时， f x 无极值点
当 a 0时， f x 有且仅有一个极小值点 x ln a 2，无极大值点 .………………………4 分
（2）证明：由（1）可知：当 a 0时， f x 有一个极小值点 x ln a 2，且极小值为
f ln a 2 eln a a ln a 1 a ln a ……………………………………6 分
当0 a 1时， f ln a 2 a ln a 0，函数 f x 没有零点；
当 a 1时， f ln a 2 a ln a 0，函数 f x 只有一个零点；
当 a 1 2时， f ln a 2 a ln a 0，又 f 0 e a 0，
x1 0, ln a 2 ，使得 f x1 0；
又 f 4 a e2 a a 3 a 2 a 2 3a a2 4 a 0，
x2 ln a 2, 4 a ，使得 f x2 0，
当 a 1时， f x 有两个零点 .……………………………………8 分
g a a2记 a ln a 1 a 1 ，则 g a 2a lna 1
第 6页（共 7页）
记 h a 2a ln a 1 a 1 ，则 h a 2 1 2a 1
a a
∵ a > 1， h a 0， h a 在 1, 上单调递增， h a h 1 1，
即 g a 1， g a 在 1, 上单调递增， g a g 1 0
即 a2 a lna 1 0 恒成立，原不等式得证 .……………………………………12 分
第 7页（共 7页）
