山西省太原市第六十六高级中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷（扫描版含答案）

数学试题参考答案及评分建议
一．选择题： D A C D C D B A B A D A
2 1 1
二．填空题：13. 1 14. (0, 1) 15. 16. ( , )
2 2 3
三．解答题：
2 0
x 1,
17 解：（1）设M (x, y)是边 BC 2的中点，则 M (1,2)， ………2 分
y 0 4 2, 2
AM y 0 x ( 1) 直线 的方程为 ， 直线 AM 的斜截式方程为 y x 1； ……4 分
2 0 1 ( 1)
4 0
（2） B(2,0)，C(0,4)， kBC 2，0 2
1
边 BC上的高所在直线的斜率 k ， ………6 分2
边 BC上的高所在直线的一般式方程为 x 2y 1 0 . ………8分
1 1
18.（1）解：由题意得DE OE OD (OA OB) OC ………4 分
2 2
1
a 1 b 1 c； ………5 分
2 2 2
DE 1 a 1 b 1（2）由（1）得 c， AB OB OA b a ,
2 2 2
2 2
DE AB 1 (a b c) (b 1 a) (b a b c c a) ………7分
2 2
1
(1 1 cos b,c cos c,a ) 1 ( cos60 cos60 ) 0, ………9分
2 2
DE AB， DE AB . ………10 分
2 2
19 解：（1）设圆M 的一般方程为 x y Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)，……2分
F 0, D 2,

由题意得 4 2D F 0,

解得 E 2,

8 2D 2E F 0, F 0,
M 2 2所以圆 的一般方程为 x y 2x 2y 0； ………5分
M x2 y2（1）设圆 与圆 2相交于 A(x1, y1),B(x2 , y2 )(x1 x2 )两点，
1 3 1 3
x2 y2 2x 2y 0, x 1
, x ,
由 得 2
2 2
………8 分 2 2 x y 2 y 1 3 , 1 y
1 3
2 , 2 2
| AB | (x1 x
2 2
2 ) (y1 y2 ) 3 3 6 ，
M x2圆 与圆 y2 2的公共弦长为 6 . …………10 分
20.A 解：以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，则B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，E(1,0,0)，F (0,1,0)，O(1,1,2)，
（1）证明：设m (x, y, z)是平面OBC的法向量， z
D1 C1
m BC, 2x 0, O则 ∴ A1 B1
m OB, x y 2z 0,
D F C
取 z 1，则 x 0, y 2， m (0,2,1)， …………2分
A E y
B
D1F (0,1, 2)， D1F m (0,1, 2) (0,2,1) 0
x
，
D1F m， D1F //平面OBC； …………5分
（2）由（1）得m (0,2,1)是平面OBC的法向量，
D E (1,0, 2) cos D E m D1E m 21 ， 1 ， …………8 分
| D1E ||m | 5
直线D1E与平面OBC所成角的正弦值为 | cos D1E
2
m | . …………10 分
5
20.B 解：以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，则B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，E(1,0,0)，F (0,1,0)，O(1,1,2)，
（1）同 A（1）； z
（2）由（1）得m (0,2,1)是平面OBC的法向量， D1 C1
A1 OB1
设 n (x1, y1, z1)是平面D1EF 的法向量，
n EF , x y 0, D F
C
则 ∴ A E y
n D1E, x 2z 0, x B
取 z 1，则 x 2, y 2， n (2,2,1)， …………7分
cos m n m n 5 ，
|m || n | 3
平面D1EF与平面OBC
5
夹角的余弦值为 . …………10 分
3
c 1
, a 2 a 2,
21.A 解：（1）由题意得 2b 2 3,
b 3,
2 2 2 a b c ,
C x
2 y2
椭圆 的方程为 1； ………4分
4 3
（2）①当直线 l的斜率存在时，设其方程为 y kx 1，点M ,N 的坐标分别为 (x1 , y1 ) ,
y kx 1, 8k
x1 x2 2 ,
(x2 , y2 )

x2 y2 (3 4k 2 2，由 得 )x 8kx 8 0， 3 4k ………6 分
1 4 3 x1x
8
2 , 3 4k2
2 2
|MN |2 (1 k2)[(x x )21 2 4x1x2] (1 k
2 )[( 8k 2 )
2 32 ] 96(1 k )(1 2k ) ，
3 4k 3 4k 2 (3 4k 2 )2
|MN | 24 96(1 k
2 )(1 2k 2 )
(24)2 k2， 2 2 ， 1或 k
2 5 （舍去），
7 (3 4k ) 7 2
直线 l的方程为 y x 1； ………9 分
②当直线 l的斜率不存在时，则 |MN | 2 3，不符合题意；
综上，直线 l的方程为 y x 1. ………10 分
c 1
,
a 21 9 a 2,21.B 解：（1）由题意得
a2
2 1,4b b 3,
a2 b2 c2
x2 y2
椭圆C的方程为 1； ………4分
4 3
（2）①当直线 l的斜率不存在时，则 |MN | 2 3，不符合题意； ………5 分
②当直线 l的斜率存在时，设其方程为 y kx 1，点M ,N 的坐标分别为 (x1 , y1 ) ,
y kx 1,
x
8k
1 x2 ,
(x , y )，由 x2 y2 得 (3 4k 2 )x2 8kx 8 0， 3 4k
2
2 2 ………7 分
1 4 3 x
8
1x2 , 3 4k2
|MN |2 (1 k2)[(x x )2 4x x ] (1 k 2 )[( 8k )2 32 ] 96(1 k
2 )(1 2k 2 )
1 2 1 2 ，3 4k 2 3 4k 2 (3 4k 2 )2
2 2
|MN | 24 96(1 k )(1 2k ) 24 2， 2 2 ( ) ， k
2 1 k2 5或 （舍去），
7 (3 4k ) 7 2
直线 l的方程为 y x 1； ………9分
2 1 2 24 6 2点O到直线 l的距离为d ， S OMN . ………10 分2 2 2 7 7
注：以上各题其它解法，请酌情赋分.