山西省太原市第六十六高级中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷（扫描版含答案）

数学试题参考答案及评分建议
一、选择题： C A D B B A C C B B A D
二、填空题: 13. x R, x2 0 14.3 15．[36, ) 16.0.6 h
三、解答题:
1 1 2 1 3
17.解:(1) ( 3)0 ( ) 2 ( ) 1 1 0； ………4 分
4 3 2 2
3 1 1 1 5 3 1 1 1 5 1
(2) (6a 2b 2 )(a 2b 3 ) ( 3ab 6 ) 2a 2 2 b 2 3 6 2a . ………8分
18.解:（1）当m 2时， A B x 3 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 ， ………3 分
(CU A) B {x | x 3,或 x 1} x 1 x 2 {x | x 3,或 x 1}； ………5 分
（2） A B A， A B， ………7 分
1 m m,
1 m 3, m 4， 实数m的取值范围为 (4, ) . ………10 分
m 1,
19.解：（1）由题意得当 x 0时， f (x) f ( x) ( x)2 4( x) x2 4x， ………2 分
x2 4x, x 0, f (x) 其单调增区间为[ 2,0]和[2, )； ………5分
x
2 4x, x 0;
2
（2）当 a 0时， f (a) a 4a 3， 0 a 1,或 a 3， ………7分
由 f (x)是定义域为 R的偶函数，当 a 0时， a 3 ,或 1 a 0，
综上，实数 a的取值范围为 ( , 3) ( 1,1） （3, ). ………10 分
20．A 解:（1） f (x)在 R 上是增函数， ………1分
1 1
证明： x1, x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x
x1
2 ) (2 x ) (2
x2 x )2 1 2 2
(2x1 2x2 ) ( 1 1 1 ) (2 x1 2 x2
2x1 2x
)(1 x x )， ………3分2 2 12 2
x 11 x2， 0 2
x1 2x2 x x， 2 1 2 2 0，1
2 x12 x
0，
2
f (x1) f (x2 ) 0， f (x1) f (x2)， f (x)在 R 上是增函数， ………5 分
（2）由（1）得 f (x)在 R 上是增函数， f (4t t2) f (t 4)， 4t t2 t 4， ………8 分
t 2 3t 4 0， 1 t 4， 实数 t的取值范围是 ( 1,4) . ………10 分
20．B 解:（1）同 20A（1）；
（2）由（1）得 f (x)在 R 上是增函数， f (mt 2t 2) f (1 t 2)，
mt 2t 2 1 t 2对于任意 t [2,3]恒成立， m 1 t 对于任意 t [2,3]恒成立，………8 分
t
10
当 t 3时， t 1 10 取最大值 ， 实数m的取值范围是 ( , ) . ………10 分
t 3 3
900
21.A 解：（1）若选择一次支付，则其实际支付额 y 900 5 [ ] 40 2 745，……2 分
60
y 250 5 [250 650若选择两次支付，则其实际支付额为 ] 650 5 [ ] 40 790，
60 60
因为745 790，所以小明应选择一次支付好； ………5 分
x
x x 5 [ ]
（2）由题意得 y x 5 [ ] 40 [ 60 ], x 0 ； ………8 分
60 400
（3）由题意可知120 x 240，①当120 x 180时，168 x 5 2， x 178；
②当180 x 240时，168 x 5 3， x 183；
综上，小明这次购买商品的价格 x为178或183 . ………10 分
21.B 解：（1）同 A（1）；
（2）设小明应购买 x件该商品，最低平均价格为 y元，
由题意可得30x 5 [30x ] 40 500，则 0 x 19， ………6分
60
5 x
①当0 x 14时， y 30 [ ]，
x 2
（i）若 x 5 x是偶数，则 y 30 27.5；
x 2
(ii)若 x 5 x 1 5是奇数，则 y 30 27.5 27.5； ………7分
x 2 2x
②当15 x 5 x 19时， y 30 [ ] 40 ，
x 2 x
x y 30 5 x 40（i）若 是偶数，则 27.5 40 27.5 40 25；
x 2 x x 16
5 x 1 40 75
(ii)若 x是奇数，则 y 30 27.5 27.5 75 25；
x 2 x 2x 2 15
综上所述，当 x 15或16时， y取最小值 25，
所以小明应购买15或16件该商品，才能使其平均价格取得最低价格 25元. ………10 分