吉林省长春市南关区希望高级中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版含答案）

希望高中2021-2022学年高二上学期期中考试
数学
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1．过点且垂直于的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
3．数列满足，，则（ ）
A．19 B．16 C． D．
4．设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．已知抛物线C的焦点在x轴的正半轴上，顶点为坐标原点，若抛物线上一点M(2，m)满足|MF|＝6，则抛物线C的方程为（ ）
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝16x
6．在三棱锥中，平面，，，，分别是棱，，的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
8．已知抛物线y2＝4x，直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为（　　）
A．2 B． C． D．1
9．若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
10．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，可得方程的解是（ ）
A． B． C． D．
11(多选题)．已知直线：和圆：，下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为
C．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为4 D．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为4
12（(多选题)）．已知为坐标原点，、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，则（ ）
A．当时，双曲线的离心率
B．当△POF2是面积为2的正三角形时，
C．当为双曲线的右顶点，轴时，
D．当射线与双曲线的一条渐近线交于点时，
第Π卷（共90分）
二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
13．等差数列{an}中，，则a1等于_______.
14．如图，在三棱柱中，所有棱长均为，且底面，则点到平面的距离为______.
15．已知抛物线方程为y2＝﹣4x，直线l的方程为2x+y﹣4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，点A到直线l的距离为n，则m+n的最小值为__．
16．设是双曲线上一点，是的左焦点，是右支上的动点，则的离心率为______，面积的取值范围是_______．
三、解答题（共6小题，满分70分，写出必要的文字说明和解题步骤）
17．已知抛物线C：过点
求抛物线C的方程；
设F为抛物线C的焦点，直线l：与抛物线C交于A，B两点，求的面积．
18．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．
（1）求异面直线EF与所成角的大小． （2）证明：平面．
19．已知圆经过点，，．
（1）求圆的方程；
（2）若直线：与圆交于，两点，且，求的值．
20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，四边形ABCD为等腰梯形，BC∥AD，BC＝CDAD＝1，E为PA的中点．
（1）求证：EB∥平面PCD；
（2）求平面PAD与平面PCD所成的二面角θ的正弦值．
21．已知曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是.
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．已知为圆的圆心，是圆上的动点，点，若线段的中垂线与相交于点.
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与点的轨迹分别相交于，两点，且与圆相交于，两点，求的取值范围.
参考答案
1．B
2．A
3．D
4．C
5．D
6．B
7．B
8．D
9．D
10．C
11．AD
12．AB
13．
14．
15．－1
16．2
17．（1）；（2）12
【详解】
（1）因为抛物线：过点，
所以，解得，所以抛物线的方程为．
（2）由抛物线的方程可知，直线与轴交于点，
联立直线与抛物线方程，消去可得，
所以，所以，
所以的面积为．
18．（1）；（2）证明见解析．
【详解】
据题意，建立如图坐标系．于是：
，，，，，
∴，，，．
（1），
∴
∴异面直线EF和所成的角为．
（2）
∴，即
，
∴即．
又∵，平面且
∴平面．
19．(1)；(2)或.
【详解】
(1)设圆的方程为：，依题意有：，
解得：，
所以圆的方程为；
(2)由(1)知，圆的圆心，半径，
因直线：被圆所截弦MN长为，则点C到直线MN距离为，
于是得，解得或，
所以的值为或.
20．（1）证明见解析；（2）．
【详解】
解：（1）证明：取AD的中点O，连接EO，OB，
∵E为PA的中点，O为AD的中点，
∴OEPD，
又∵BCAD，，
∴四边形BCDO为平行四边形，
∴BOCD，
∵OEPD，BOCD，
平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，同理平面PCD，
又OE和BO是平面EBO的两条交线，
∴平面EBO平面PCD，
又∵BE在平面EBO中，
∴BE平面PCD；
（2）连接，，则，又平面平面，又平面平面，所以平面，
取BC的中点M，连接，是等腰梯形，则，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则平面PAD的一个法向量为，
∴，
设平面PCD的一个法向量为，则，
不妨令x＝1，则，则，
∴，则．
21．（1）；（2）存在，.
【详解】
（1）设是曲线上任意一点，
由题意可得：，
整理可得：，
（2）存在，理由如下：
设过点的直线与曲线的交点为，，
设直线的方程为，
由得：，，
所以，
又，，
由，可得，
所以，
，
将代入上式可得：对任意的实数恒成立，
所以，解得：，
所以存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有，且的取值范围.
22．（1）；（2）.
解：（1）由线段的垂直平分线可得：
，
所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，
所以，，，所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）可知，椭圆的右焦点为，
①若直线的斜率不存在，直线的方程为，
则，，，
所以，，.
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，，.
联立，可得，
则，，
所以.
因为圆心到直线的距离，
所以，
所以.
因为，所以.
综上，.