2021年秋期高中二年级期中质量评估
数学试题
注意事项:
l.本试卷分第Ⅰ卷(选择題)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.考生做题时将答答在签题
卡的指定位置上,在本试卷上答题无效,考试时间120分钟,试卷满分150分,
2.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上
3选择題答案使用2B铅笔填涂,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性〔签字)笔或碳
素笔书写,字体工整,笔迹清楚
4.请按照题号在各题的答区域(黑色线框〕内作答,超出答题区城书写的答案无效
5.保持卷面清洁,不折叠、不破损
第I卷选择题(共60分)
一选择题(本大题共12小题每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中只有一项
是符合题目要求的
1.已知非零实数a,b,若a>b,则下列不等式成立的是
B a2>b2
D a>b
在数列{an)中,a1=1,an1-an=2,n∈N,则a的值为
B.18
D.21
3.《算法统宗是中国古代数学名著许多数学问题都是以歌诀形式呈现的“九儿问
歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知自长排来差三岁,共年二百又零七借
问小儿多少岁各儿岁数要详推。这位公公年龄最小的儿子年龄为
C.11岁
D.12岁
4在下列函数中最小值是2的为
凶,
C y=Inz+(lD y=sinr+:-(0设变量xy满足约束条件{x-2y+4≥0,则z=2x+y的最小值为
B.2
高二数学第1页(共4页
5:3,则该三角形的最大内角是
A.135
7已知等差数列{an}满足s2=27,sn=330,an-4=30,则n值为
A.20
B.19
8已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=1,C=2B,则△ABC外
接圆半径为
B
9已知数列{a}是等差数列若a+3a1<0,a10·a1<0,且数列{an}的前n项和S,有
最大值,那么S取得最小正值时n等于
B.20
C.21
D.22
10.在△ABC中,ab,分别是角A,B,C对边的长,根据下列条件解三角形,有两解的是
11在数列{an}中,a1=1,a2=3,a1=5,anan+=1,则log;a:+log;a2+…+log:-x
12已知数列{an)满足a1=1,an=am-1+(-1),a2+1=a2+3"(n∈N),则数列(an}
的前2021项的和为
B.301-2022c.301-2020
第Ⅱ卷非选择題(共90分)
二、填空题(本大题共4小题每小题5分,共20分)
1已知关于z的不等式x2+bz+C>0的解集是{xx<-2,或x>-1则2-b
十c<0的解集为
14△ABC中,csB=1,sinA=,则在△ABC中,cosC=
图是某商业小区的平面设计图,初步设计该小区为
半径是200米,圆心角是120°的扇形AOB.O为南门位置,C
为东门位置,小区里有一条平行于AO的小路CD,若OD=
√6
米,则圆弧AC的长为
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数学试题参考答案
一、选择 1-5 DCCBC 6-10 BADAD 11-12 BA
二、填空题
x 1 x 2 1613、 14、 15、50 16、 3，
2 65
三、解答题：
17、解:（1）由余弦定理可知： a2 b2 c2 2ab cosC，
1
由三角形的面积公式可得： S ab sinC ，
2
3
因为 S a2 b2 c2 ，
4
1
所以 ab sinC 3 2ab cosC，即 sinC 3 cosC
2 4
π
所以 tanC 3，因为0 C π，所以C .-----------------------------5 分3
2π
（2）由（1）知： A B π C ，
3
sin A sinB sin A sin 2π A 所以 sin A
3 1
cos A sin A
3 2 2
3
sin A 3 cos A 3 sin A π ，--------------------------------8分2 2 6
A π π A π当且仅当 即 时， sin A sin B取得最大值为
6 2 3 3
所以 sin A sin B的最大值是 3 .-------------------------------------10 分
18. 解:若 a 0，原不等式可化为 x 1 0，解得 x 1；----------------2分
a 0 x
1
x 1 0 x 1若 ，原不等式可化为 ，解得 或 x 1；---------4分
a a
x 1 x 1 0 1若 a 0，原不等式可化为 ，其解得情况应由 与1的大小关系确定，
a a
当 a 1时，解得 x ；-----------------------------------------------6分
1
当 a 1时，解得 x 1；--------------------------------------------8 分
a
1
当0 a 1时，解得1 x .--------------------------------------------10 分
a
1
1
综上所述，当 a 0时，解集为{x | x 或 x 1}；
a
当 a 0时，解集为 x x 1 ；
当0 a 1时，解集为{x |1 x
1
}；
a
当 a 1时，解集为 ；
1
当 a 1时，解集为{x | x 1} .----------------------------------------------12 分
a
19.解：(1)由 Sn＝2an－1，得 S1＝2a1－1，∴a1＝1.
又 Sn＝2an－1，Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，
两式相减，得 Sn－Sn－1＝2an－2an－1，an＝2an－2an－1.
∴an＝2an－1，n≥2.
∴数列{an}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．
∴a ＝1·2n－1＝2n－1n .---------------------------------------------3 分
1 1
由 b *n－1－bn＝bnbn－1(n≥2，n∈N )，得 － ＝1.
bn bn－1
1
又 b1＝1，∴数列 bn 是首项为 1，公差为 1的等差数列．
1
∴ ＝1＋(n－1)·1＝n.
bn
1
∴bn＝ .---------------------------------------------------------6 分
n
0 1 n－1
(2)∵Tn＝1·2 ＋2·2 ＋…＋n·2 ，
∴2T 1 2 nn＝1·2 ＋2·2＋…＋n·2 .
n
1－2
两式相减，得－T 1 n－1 n n n nn＝1＋2＋…＋2 －n·2＝ －n·2 ＝－1＋2 －n·2 .
1－2
∴Tn＝(n－1)·2
n＋1.---------------------------------------------12 分
a b c
20. 解：（1）由正弦定理 ，得 a2 c2 b(a b)sin A sin B sinC ，
∴ c2 a2 b2 ab ，--------------------------------------------------------------3 分
2 2 2
∴由余弦定理，得 cosC a b c 1 ，
2ab 2
∵C 0, π π，∴C . ----------------------------------------------------------6 分
3
（2）∵ ABC S= 1的面积 ab sinC 3 ab，
2 4
0 3 3
1
∴ ab ，∴ 0 ab
4 12 3
，
2
若 c=1，则 c2 a2 b2 ab=(a b )2 3ab 1，------------------------------9 分
∴ a+b= 1+3ab，
1
∵ ABC的周长 l a+b c= 1+3ab 1，且 0 ab 3，
∴ 2 l 2 1，即 ABC的周长 l的取值范围为 (2, 2 1) ------------------------------12 分
21.解：（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为
y x 80000
200 ……………………………………………2分
x 2 x
2 x 80000 200 200 ……………………………………………4分
2 x
x 80000
当且仅当 ，即 x 400时等号成立， …………………………………5分
2 x
故该单位月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元.
……………………………………………6分
（2）不获利. ……………………………………………7分
设该单位每月获利为 S元，
x2
则 S 100x y 100x ( 200x 80000) ………………………………………8分
2
x2
300x 80000
2
1
(x 300)2 35000 ……………………………………………9分
2
因为 x 400,600 ，所以 S 80000, 40000 . …………………………………11分
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴 40 000元才能不亏损. ……………12分
22解：（1）证明：
an 1 (n 1) 2an n 1 n 1 2 an n ，又a1 1 2
………………………2分
an n 为以2为首项，以2为公比的等比数列。
可得：a n 2n nn ，an 2 n …………………………………………4分
（2）证明：由题意得：
3
１
ｂｎ＝ｃｎ＋１－ｃｎ＝
２ｎ
n 2时ｃｎ＝ｃ１ （ｃ２－ｃ１） （ｃ３－ｃ２） （ｃｎ－ｃｎ－１）
1 1 1 1
1
n
1 1 2
n 1
2 n-1
2
1 2 2 2 2 1 2
n 1 2n 1
2
2nn 1 1 时也符合上式， Cn 2n 1
…………………………………………8分
n 1 n
bn d
1 ( 2 2n n n n 1 )
1 1
2 2 1 2 1 2(2n 1) 2n 1 1
1 1 1
(2n 1 2)(2n 1
1) 2 (2n 1)(2n 1 1)
1 1
n (
1 1 1 1 1
n ) ( )2 2 2 1 2n 1 1 4 2n 1 2n 1 1
……………………10分
S 1 ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 1 n 1 2 2 3 ( )
4 2 1 2 1 2 1 2 1 2n 1 2n 1 1
1 1 1
（1 n 1 ） 4 2 1 4
所以，数列 bn d
1
n 的前 n项和 Sn 。 ……………………12分4
4
