2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2双曲线尖子生培优练-（Word含答案解析）

3.2双曲线尖子生培优练--2021--2022学年人教A版（2019）选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．若椭圆与双曲线的焦点相同，则的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
3．已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．若方程表示双曲线，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的右焦点是双曲线的右顶点，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线与直线有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudio完成的，建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊，你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下避难”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的离心率为，过点，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为5，点M在C的左支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为N，则当取最小值10时，该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、多选题
9．已知曲线E的方程为，则下列选项正确的是（ ）
A．当时，E是圆 B．当时，E一定是椭圆
C．当时，E是双曲线 D．当且时，E是直线
10．（多选）已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的焦距为
B．双曲线的虚轴长是实轴长的倍
C．双曲线与双曲线的渐近线相同
D．双曲线的顶点坐标为
11．（多选）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则双曲线离心率的取值范围为
B．若，则双曲线离心率的取值范围为
C．若，则双曲线离心率的取值范围为
D．若，则双曲线离心率的取值范围为
12．已知是双曲线的左右焦点，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，且轴，下列判断正确的是（ ）
A． B．的离心率等于
C．的内切圆半径 D．若A，为上的两点且关于原点对称，则的斜率存在时其乘积为2
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三、填空题
13．已知双曲线的一条渐近线将圆分成面积相等的两部分，则双曲线的离心率为______．
14．已知双曲线的两个焦点分别为、，且两条渐近线互相垂直，若上一点满足，则的余弦值为_______________________．
15．以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线C的焦距为10，一个顶点坐标为（3，0），则其共轭双曲线的离心率为___________.
16．已知点在双曲线左支上，是其左、右焦点，若，______.
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四、解答题
17．双曲线的焦点的坐标分别为和，离心率为，求：
（1）双曲线的方程；
（2）双曲线的渐近线方程．
18．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且点在上.
（1）求的标准方程；
（2）直线与双曲线交于两点，求线段的中点坐标.
19．已知双曲线的实轴长为，一个焦点的坐标为-.
（1）求双曲线的标准方程;
（2）已知斜率为的直线与双曲线交于，两点，且，求直线的方程.
20．在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中．
（1）求的值；
（2）若双曲线渐近线的斜率小于，求和的取值范围．
21．已知过点的双曲线C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C交于不同的两点A，B，线段的中点在圆上，求实数m的值.
22．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为4.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y＝kx＋2与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．D
【解】
在双曲线中，，，故双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
2．C
【解】
双曲线化成标准方程，所以，解得．
故选：C．
3．A
【解】
由题意，得：，
且点在的渐近线上，
即，即，
所以，
则，，
所以双曲线的标准方程为.
故选：A.
4．A
解：因为方程表示双曲线，所以，所以，即.
故选：A
5．C
【解】
因为椭圆的半焦距为：，
所以双曲线的右顶点坐标为，即，
因此该双曲线的渐近线方程为，
故选：C
6．C
【解】
因为双曲线的一条渐近线方程为，由题意得，
所以双曲线的离心率．
故选：C.
7．A
【解】
双曲线，由题意可得：
∴双曲线为，即．
故选：A．
8．C
【解】
如图1（根据双曲线的对称性，仅作出一条渐近线），
由题意，，则，所以，当且仅当共线时取“=”，
如图2，
渐近线方程为：，则，
所以的最小值为，又，所以，则渐近线方程为：.
故选：C.
9．ACD
解：因为曲线E的方程为，
对于A：当，方程为：表示圆，所以A正确；
对于B：若，假设则方程为为圆，不是椭圆，所以B不正确；
对于C：当，则，，所以方程为：，即，则表示双曲线，所以C正确；
对于D：当且，方程为：即，则是直线，故D正确；
故选：ACD．
10．BC
【解】
因为，，
所以，，焦距为，所以A错误；
因为，所以B正确；
双曲线与双曲线的渐近线方程均为，所以C正确；
令，得，所以双曲线的顶点坐标为，所以D错误．
故选:BC．
11．BC
【解】
由题意，，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，
若，可得，
根据双曲线的定义可得，则，解得；
若，可得，
根据双曲线的定义可得，则，解得．
故选：BC．
12．ABD
解：对于A，如图所示，直线的倾斜角为，且轴，
则且，所以，故A正确；
对于B，在中，，直线的倾斜角为，
则，，
所以，得，故B正确；
对于C，的周长为：，
设的内切圆为，根据三角形的等面积法可知，
，解得：，
所以是与有关的式子，故C错误；
对于D，由于A，关于原点对称，可设，
根据，得，
所以当斜率存在时，，
因为A，在双曲线上，所以，即，得：，
所以，故D正确.
故选：ABD.
13．
【解】
圆的圆心坐标为.
双曲线的一条渐近线方程为.
因为双曲线的一条渐近线将圆分成面积相等的两部分，
所以渐近线经过圆心，把代入，得：，所以.
所以双曲线的离心率为.
故答案为：
14．
【解】
因为双曲线，所以渐近线方程为，又因为两条渐近线互相垂直，所以，所以，即，因此，
因此，又由双曲线的定义可知，则，
所以在中由余弦定理可得
，
故答案为：.
15．.
【解】
由题意可知，，则，所以，
结合共轭双曲线的概念可知，，所以离心率，
故答案为：.
16．
【解】
设，
由双曲线的定义得，
在中，由余弦定理得，
解得，
所以.
故答案为：
17．解：因为双曲线的焦点的坐标分别为和，
所以，且焦点在x轴上，
又因为，
所以，则，
所以双曲线方程为．
（2）由（1）知：双曲线的焦点在x轴上，且，，
所以双曲线的渐近线方程为．
18．【解】
（1）因为与的渐近线相同，可设
将代入得，所以的标准方程为.
（2）联立方程组，消去可得，设，则，
从而中点的横坐标为，又因为的中点在直线上，因此其坐标为.
19．【解】（1）由得，又，则，
故双曲线的方程为．
（2）设直线的方程为，代入双曲线方程可得，
设，，，，则，．
因为，
所以，解得，
所以直线的方程为．
20．【解】（1）因为椭圆的离心率为，
双曲线的离心率为，
所以；
（2）因为双曲线的渐近线方程为，
若双曲线渐近线的斜率小于，则，所以，
因此，
，
又，分别为椭圆与双曲线的离心率，所以，，
因此，.
21．【解】
（1）设双曲线的方程是，
则，解得，
所以双曲线的方程是，即.
（2）将，代入消去，并整理得.
设，，线段的中点为，
则，，
所以，.
因为点在圆上，
所以.解得.
22．【解】
（1）设双曲线C的方程为 (a>0，b>0)．
由已知得，a＝2，c＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝4，
所以双曲线C的方程为.
（2）设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
将y＝kx＋2与联立，
得(1－3k2)x2－12kx－36＝0.由题意可得：
，
，
，
，
解不等式，得所以当所以k的取值范围为