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北师大版数学六年级下册第一单元第三课时教学设计
课题 圆柱的体积 单元 第一单元 学科 数学 年级 六年级
学习目标 1 使学生经历观察、操作、猜想、验证、类比和归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆柱的体积公式，初步学会应用公式计算圆柱的体积，并能解决相关的实际问题。2 使学生在探索圆柱体积公式的过程中，进一步体会转化的思想方法，培养应用所学知识解决纹的能力，发展初步的推理能力和空间观念。3 使学生在参与数学活动的过程中，进一步感受数学知识和方法的学习价值，获得些学习成功的体验，培养对数学学习的兴趣。
重点 掌握圆柱体积公式的推导过程。
难点 掌握圆柱体积公式的推导过程。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 谈话导入日常生活中的很多物体都是圆柱形的，例如：我们平时用的水杯，建造房屋时修的柱子等等，都是圆柱形的，那么求水杯可以装多少水？制作一根柱子需要多少木料等问题，就需要我们用到有关圆柱体积的问题，所以今天我们就来研究圆柱的体积。（板书课题） 联系生活实际，理解想象！ 创设一个生活情境，提出问题，学习身边的数学。
讲授新课 谈话：遇到新问题，老师要提醒大家，我们先不要着急盲目的进行尝试，因为那样会走很多弯路，我们应该和已经学过的一些旧知识进行联系，利用新旧知识之间的联系，就可以很容易解决新问题。与体积有关的旧知识是我们在五年级的时候已经学会了求长方体和正方体的体积，我们知道长方体和正方体都可以通过底面积乘高来得到，也就是V=SH。那么圆柱体也有底面积和高，它的体积会不会也与底面积和高有密切联系呢？像这种思考问题的方法，我们把它称为数学中的猜想。既然是猜想就说明我们还拿不准，我们还可以做进一步的证明。大家回忆我们在推导圆的面积公式的时候是怎么研究的呢？我们是把圆平均分成若干等份，然后拼成一个近似的长方形，就可以求出面积。 那么圆柱体是不是也能够发生一些变形，然后让它只是形状改变了而体积不会发生改变的立体图形呢？教师一边用圆柱模型演示操作方法一边讲解：我们可以这样操作，首先沿着圆柱体的底面直径把圆柱竖直切开，把圆柱分成了相同的两个半圆柱，然后我们再把每一部分平均分成若干等份，再把这些图形拼起来，我们得到了一个近似的长方体，多分几次我们会发现，如果把圆柱体平均等分的份数越多，我们拼出来的图形就会越接近长方体。 16等分 32等分 64等分 128等分 大胆想象将圆柱无穷等分！ 请大家观察转化后的长方体与转化前的圆柱体有什么关系？你有什么发现吗？师总结：这里有“一变三不变”一变：指的就是形状变化。（由原来的圆柱体转化成了长方体）三不变：指的就是体积、底面积和高没有改变。转化过程中，圆柱的体积既没有增加也没有减少，只是重新拼接在一起，所以体积没有发生变化，底面积由原来圆柱的底面积转化成了长方体的底面积，正好是求圆的面积的转化过程，显然也没有变化。高是最直观的，圆柱的高和长方体的高是相等的。长方体的体积是底面积乘以高，而长方体的体积，底面积还有高与圆柱的体积，底面积还有高都是分别对应相等的，按照等量代换，我们也可以确认，圆柱的体积，其实是等于它的底面积乘以高。所以我们刚才的猜想是正确的。有的同学提出了新问题：长方体的体积等于长乘宽乘高，如果按照这个公式，还能推出圆柱的体积有同样的结论吗？总结：字母公式中的πr·r·h其中的三部分正好对应的就是长方体的长、宽和高，πr 就是圆柱的底面积，所以按照长乘宽乘高的过程一样可以推导出圆柱的体积公式。过渡：有了圆柱体的体积共识，我们刚才遇到的问题就可以解决啦 3.14×0.4 ×5 =3.14×0.16×5=3.14×0.8=2.512（m ）答：需要2.512m 木材。3.14 ×（6 ÷ 2） ×16=3.14×9×16=452.16（cm ）=452.16（毫升）答：一个杯子能装452.16毫升水。过渡：知道了圆柱的体积公式，怎样来应用呢 1金箍棒的底面周长是12.56厘米，长是200厘米，这根金箍棒的体积是多少立方厘米？ 12.56÷3.14÷2=2（厘米）————底面半径3.14×2 =12.56（平方厘米）——底面积12.56×200=2512（立方厘米）——体积答：这根金箍棒的体积是2512立方厘米。2 如果这根金箍棒是铁制的，每立方厘米铁的重是7.9克，这根金箍棒重多少千克？7.9×2512=19844.89（克）答：这根金箍棒的重是19.9448千克。课堂练习1 分别计算下列各图形的体积，再说说这几个图形体积计算方法之间的联系。 2 计算下面各圆柱的体积。3 这个杯子能否装下3000mL的牛奶？ 4 光明村李大伯家挖一口圆柱形的水井，底面周长是3.14m,深是4m。挖出了多少立方米的土？5 一个装满稻谷的圆柱形粮囤，底面面积为2m ,高为80cm。每立方米捣鼓的质量约为700kg，这个粮囤存放的稻谷的质量约为多少千克？6 下面的长方体和圆柱体哪个体积大？说说你的比较方法。 7 如图，求出小铁块的体积。 长方体体积公式：底面积乘高或者是长乘宽乘高。把圆平均分成若干个小扇形，然后把这些小扇形拼成一个近似的长方形，拼成的长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径。动手操作小组讨论集体汇报。长方体的长=圆柱体底面周长的一半（a=πr）长方体的宽=圆柱底面半径 (b=r)长方体的高=圆柱的高(h=h)V长=abhV柱=πr·r·h=πr hV柱=sh独立分析理解问题，寻找解决问题的方法。独立解答问题，集体讨论汇报。分析理解问题,独立解答小组讨论问题答案尝试动手操作小组合作寻找问题答案。 进一步提出问题，引导学生从实际问题中引导学生寻求一种更广泛的方法来解决学习中的问题。进一步从实际需要提出问题，激发学生从问题中思考寻求一种更广泛的方法来解决圆柱体积的问题的欲望。通过想象，进一步发展学生的空间观念，由“形”到“体”；同时使学生感悟圆柱的体积与它的底面积和高的联系，通过圆面积推导过程的再现，为实现经验和方法的迁移作铺垫。首先通过学生的联想建立圆柱体和长方体的联系，初步建立转化的雏形，然后再通过实践操作，动画演示，验证了学生的发现，从学生的认识和发现中，围绕着圆柱体和长方体之间的联系，抽象出圆柱体的体积公式。这个过程，学生从形象具体的知识形成过程（想象、操作、演示）中，认识得以升华（抽象的认识公式）加深对刚学知识的分析和理解。让学生灵活运用公式进行分析和计算。教师提出问题，学生带着问题大胆猜测、动手体验。这样学生在自主探索、体验、领悟的过程中成为了发现者和创造者。让不同层次的学生谈学习收获，可使每个学生都体验到成功的喜悦。这样，学生的收获不仅只有知识，还包括能力、方法、情感等，学生体验到学习的乐趣，增强了学好数学的信心。
课堂小结 这节课你有什么收获？
板书 圆柱的体积根据圆柱与近似长方体的关系推导公式：长方体体积=底面积×高圆柱体体积=底面积×高V= s h
可以根据底面周长求出底面半径，再求出底面积。
先要算出底面的面积。
8cm
8cm
6cm
6cm
3cm
5cm
6cm
4cm
6dm
10cm
1cm
5cm
4cm
S=60cm
14cm
20cm
2dm
6cm
6cm
4dm
4dm
10cm
5cm
7cm
10cm
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第一单元《圆柱的体积》导学单
【学习目标】
1 使学生经历观察、操作、猜想、验证、类比和归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆柱的体积公式，初步学会应用公式计算圆柱的体积，并能解决相关的实际问题。
2 使学生在探索圆柱体积公式的过程中，进一步体会转化的思想方法，培养应用所学知识解决纹的能力，发展初步的推理能力和空间观念。
3 使学生在参与数学活动的过程中，进一步感受数学知识和方法的学习价值，获得些学习成功的体验，培养对数学学习的兴趣。
【学习重点】掌握圆柱体积公式的推导过程。
【学习难点】掌握圆柱体积公式的推导过程。
【知识链接】
1 圆柱体的体积=（ ），字母公式是（ ）
2 一个圆柱体的底面积是105平方分米，高是40分米，体积是（ ）。
3 把一个底面直径和高都是2分米的圆柱切拼成一个近似的长方体，这个长方体的长约是（ ）分米，宽约是（ ）分米，底面积约是（ ）平方分米，体积约是（ ）立方分米。
4 已知圆柱体桶底面半径是3米，高是4米，它的底面积是（ ） ，容积是（ ）。
5 判断（对的打√ ，错的画╳ ）
① 如果一个正方体和一个圆柱体底面周长相等，高也相等，则他们的体积也相等。（ ）
② 体积相等的两个圆柱，表面积也相等。（ ）
③ 圆柱体的体积和他的容积一样大。（ ）
【合作探究】
圆柱体积公式的推导方法
小组合作推导圆柱体积公式。
（1）把圆柱的底面积平均分成若干个小扇形，然后将圆柱切开，再把他们拼起来，就转化成近似的长方体，平均分成的份数越多，拼成的图形就会越接近长方体。
（2）讨论观察拼成的长方体，和原来圆柱体有怎样的关系。
长方体的长=圆柱体底面周长的一半
（a = πr）
长方体的宽=圆柱底面半径
(b = r)
长方体的高=圆柱的高
(h = h)
V长=abh
V柱=πr·r·h
=πr h
V柱=sh
2 请你设计一个方案，测量并计算出1枚1元硬币的体积。
3 课后探究：寻找日常生活中三个粗细不同的圆柱形物体，
分别估计他们的体积。
测量相关数据，计算它们的体积。
（3）比较估计值与计算值，哪一种圆柱体的体积你不容易估准？
【方法宝典】
圆柱体体积=底面积×高
V=sh=πr h
【达标检测】
一、填空。
1 一个圆柱的底面积是18cm ，高是6cm，它的体积是（ ）cm .
2 一个圆柱形水桶，从里面量是底面直径是4dm，高是5dm，这个水桶的容积是（ ）升。
3 将一张长是4cm，宽是3cm的长方形纸片以长边为轴旋转一周得到一个圆柱，这个圆柱的体积是（ ）cm 。
4 一种圆柱形水泥预制件的体积是28.26m ,底面积是6.28m ，它的高是（ ）。
二 判断题
1 一个圆柱的底面积越大，体积就越大。 （ ）
2 长方体、正方体、圆柱的体积都可以用“底面积×高”来计算。 （ ）
3 一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，那么它的体积也扩大到原来的2倍。 （ ）
4 两个圆柱的体积相同，底面积大的圆柱的高反而小。（ ）
三 选择题
1 圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的（ ）倍。
A 8 B 6 C 4 D 2
2 一个圆柱形水桶，底面内直径是40厘米，高是50厘米，水桶的（ ）大约是是62.8立方分米。
A 体积 B 容积 C 表面积 D 底面面积
3 一个圆柱体与一个长方体的体积相等，长方体的长是15厘米，宽是6厘米，高是3厘米，圆柱体的底面积是30平方厘米，它的高是（ ）。
A 6厘米 B 8厘米 C 9厘米 D 18厘米
4 一个圆柱体，底面周长是37.68厘米，高是2厘米，它的体积是（ ）。
A 74.36立方厘米。 B 226.08立方厘米。 C 76.36立方厘米。 D 15.72立方厘米。
5 两个体积相等的圆柱体，它们可能是（ ）。【答案不唯一】
A 底面积和高都相等。 B 底面积相等，高不相等。
C 高相等，底面积不行等。 D 底面积和高都不等。
四 解答问题
曲米有一个棱长为2分米的正方体木块，将它削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少立方米？
一个圆柱形的玻璃杯，从里面量得它的内壁高10厘米，杯口直径为8厘米，淘气用这个杯子装一袋500毫升的牛奶，能装下吗？
3一个圆柱形汽油罐，底面周长是6.28米，高是10米。如果每立方米汽油的质量约为0.7吨，这个油罐可装多少吨汽油？
4一个装有水的圆柱形水槽，底面直径是10厘米，高是10厘米，一块石头完全浸在水里，量得水深是8.5厘米，将石头取出后，水深是7厘米，这块石头的体积是多少？
5把3个完全相同的小圆柱合成一个大圆柱后，表面积减少了12.56平方厘米。一直每个小圆柱的高是3厘米，那么每个小圆柱的体积是多少立方厘米？
参考答案
一、填空。
1 108
62.8
113.04
4.5米
二、判断题。
1 ╳
√
╳
4 √
三、选择题。
1 A
B
C
B
5 AD
四、解答问题
1 3.14×（2÷2） ×2=3.14×1×2=6.28（立方分米）
2 3.14×（8÷2） ×10=3.14×16×10=502.4（立方厘米）=502.4毫升 502.4>500 能
3 3.14×（6.28÷3.14÷2） ×10×0.7=3.14×1×10×0.7=21.98（吨）
4 3.14×(10÷2) ×（8.5-7）=3.14×25×1.5=117.75（立方厘米）
5 12.56÷4=3.14（平方厘米） 3.14×3=9.42（立方厘米）
怎样才能准确地测量 高呢？
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圆柱的体积
北师大版 六年级下
新知导入
讲解新知
“新问题”
“旧知识”
s s
h h
v=sh
h
s
回顾
化曲为直
新知讲解
？
转化
新知讲解
将圆柱体进行转化
16等分
新知讲解
将圆柱体进行转化
32等分
新知讲解
将圆柱体进行转化
64等分
新知讲解
将圆柱体进行转化
128等分
新知讲解
将圆柱体进行转化
无穷等分
新知讲解
观察转化后的长方体和转化前的圆柱体你有什么发现？
形状变了
体积 底面积 高
= ×
新知讲解
长方体的长=圆柱底面周长的
长方体的宽=圆柱底面半径
长方体的高=圆柱体的高
a = πr
b = r
h = h
V=a·b·h
V=πr·r·h
=πr h
V=sh
新知讲解
3.14×0.4 ×5
=3.14×0.16×5
=3.14×0.8
=2.512（m ）
答：需要2.512m 木材。
合作探究
3.14×（6÷2） ×16
=3.14×9×16
=452.16（cm ）
=452.16（毫升）
答：一个杯子能装452.16毫升水。
合作探究
试一试
1金箍棒的底面周长是12.56厘米，长是200厘米，这根金箍棒的
体积是多少立方厘米？
先要算出底面的面积。
可以根据底面周长求出底面半径，再求出底面积。
12.56÷3.14÷2=2（厘米）——底面半径
3.14×2 =12.56（平方厘米）—底面积
12.56×200=2512（立方厘米）—体积
答：这根金箍棒的体积是2512立方厘米。
合作探究
2 如果这根金箍棒是铁制的，每立方厘米铁的重是7.9克，这根
金箍棒重多少千克？
7.9×2512=19844.89（克）
答：这根金箍棒的重是19.9448千克。
课堂练习
把体积是250毫升的牛奶倒入圆柱形的杯子中，杯子的直径是5厘米，高是12厘米，能装下码？
3.14×（5÷2） ×12
=3.14×6.25×12
=19.625×12
=235.5（立方厘米）
=235.5（毫升）
答：能装下。
235.5<250
课堂练习
把一个棱长10厘米的正方体木块，削成一个最大的圆柱体， 要削去多少立方厘米的边角料？
10×10×10=1000（立方厘米）
3.14×（10÷2） ×10
=3.14×25×10
=78.5×10
=785（立方厘米）
1000-785=215（立方厘米）
答：要削去215立方厘米的边角料。
课堂总结
通过这节课的学习你有哪些收获？
板书设计
圆柱的体积
根据圆柱与近似长方体的关系推导公式：
长方体体积=底面积×高
圆柱体体积=底面积×高
V = s h
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