江西省吉安市遂川县高级中学2021-2022学年高二上学期第三次月考（B）数学（理）试卷（Word版含答案）

遂川县高级中学2021-2022学年高二上学期第三次月考
理数试题（B卷）
一、单选题
1．若p q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有
A．p真q真 B．p假q假
C．p真q假 D．p假q真
2．如图，若直线的斜率分别为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在空间直角坐标系中，点与点关于（ ）
A．x轴对称 B．y轴对称 C．z轴对称 D．原点对称
4．两条平行直线与之间的距离为（ 　）
A． B． C． D．
5．设实数x，y满足，那么的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．圆和圆的公切线的条数为( )
A． B． C． D．
7．若不等式的解集为，则成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
8．在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量运算不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图是由正方体与三棱锥组合而成的几何体的三视图，则该 几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面，则该球的表面积是
A． B． C． D．
11．已知圆，直线．若圆上恰好有4个点到直线l的距离等于1，则b的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．四棱锥底面为正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点 在底面正方形内运动，且满足，则点在正方形内的轨迹一定是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______．
14．已知变量，满足：，则的最小值为___________.
15．若直线与圆交于两点，则______.
16．如图，正方体的棱长为1，给出下列四个命题：
①直线与平面所成的角等于；
②点到面的距离为；
③两条异面直线和所成的角为；
④三棱柱外接球半径为．
其中正确命题的序号为______．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
17．已知命题：函数在区间上是单调增函数；命题：函数的定义域为，如果命题“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.
18．如图，在四棱锥，⊥平面，，，且，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
19．如图，在三棱锥中，是棱的中点，，且,
（Ⅰ）求证：直线平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值.
20．2021年6月17日9时22分，我国“神舟十二号”载人飞船发射升空，展开为期三个月的空间站研究工作，某研究所计划利用“神舟十二号”飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排，通过调查，搭载每件产品有关数据如表:
因素 产品 产品 备注
研制成本、搭载试验费用之和(万元) 计划最大投资金额万元
产品重量(千克) 最大搭载质量千克
预计收益(万元)
（1）试用搭载产品的件数表示收益(万元);
（2）怎样分配产品的件数才能使本次搭载实验的利润最大，最大利润是多少
21．已知点和点关于直线：对称．
（1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程；
（2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程．
22．在平面直角坐标系中，圆的方程为，且圆与轴交于两点，设直线的方程为.
（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；
（2）已知直线与圆相交于两点.若，求直线的方程
参考答案
1．B
2．C
3．B
4．D
5．D
6．B
7．D
8．D
9．C
10．D
11．B
12．A
13．或
14．
15．
16．①②④
17．或
解：因为函数在区间上是单调增函数，
所以对称轴方程，所以，
又因为函数的定义域为，
所以，解得，
又因为“或”为真，“且”为假，
所以命题是一真一假，
所以或，
所以或，
所以实数的取值范围是或.
18．（1）证明见解析；（2）．
（1）设为的中点，连结，，
∵为的中位线，∴，且，
又，，∴，且，
∴四边形是平行四边形，∴，
又平面，平面，
∴平面．
（2）∵是的中点，利用等体积法可知，
又，
∴三棱锥的体积．
19．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
（Ⅰ）连接，因为，所以.
由已知得，，
所以，所以，
又，所以平面
（Ⅱ）过点作，垂足是，
因为是棱的中点，，
所以点是的中点.
连接，所以.
所以就是二面角的平面角.
由（Ⅰ）知平面，所以.
因为，，所以
所以,
即二面角的正弦值为.
20．（1）；（2）产品有件，产品有件，960.
设“神舟十一号”飞船搭载新产品的件数分别为，最大收益为万元，
则目标函数为
根据题意可知:
约束条件为，即
不等式组所表示的可行域为图中阴影部分(包含边界)内的整数点，
作出目标函数对应直线，直线向上平移时，纵截距增大，增大，
所以直线过点时，取得最大值.
由，解得，故.
所以目标函数的最大值为，此时搭载产品有件，产品有件.
21．（1）（2）或
【详解】
解：设点
则 ，解得：，所以点关于直线：对称的点的坐标为
（1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，则直线与过点的直线垂直，所以，则直线为：，即.
（2）由条件可知：，的面积为2，则的高为，
又点C在直线上，直线与直线 垂直，所以点到直线AB的距离为.
直线方程为，设，则有，即或
又，解得： 或
则直线为：或
22．（1）；（2）（i）直线的方程为；（ii）存在常数，使得恒成立.
（1）由题意， 圆心到直线的距离
直线与圆相切 ，解得：
直线方程为：
（2）设，由得：
由，解得：
直线的方程为：