江西省吉安市遂川县高级中学2021-2022学年高二上学期第三次月考数学（理）试卷（A卷）（Word版含答案解析）

遂川县高级中学2021-2022学年高二上学期第三次月考
理科数学试卷（A卷）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.设命题，，则为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
2.如图所示，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A.6 B.8 C. D.
3.已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则为( )
A. B. C. D.
4. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
5.已知点在抛物线C:()上,点M到抛物线C的焦点的距离是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
6. 若是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7.已知双曲线﹣＝1的离心率为，则a的值为（　　）
A.1 B.﹣2 C.1或﹣2 D.﹣1
8.若直线的斜率为1，则实数m的值为（ ）
A. B. C.或 D.1或
9.直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
10.已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）
A. B. C.2 D.-2
11.实数x，y满足约束条件，则的最大值为（　　）
A. B. C. D.
12.过原点的直线交双曲线：（）于，两点，在第一象限，分别为的左、右焦点，连接交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）
13.已知曲线上在点处的切线方程为，则实数___________.
14.已知实数，满足约束条件，则的最小值是__________.
15. 四个面都是直角三角形的四面体中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则二面角的正弦值为________.
16.在边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，球O1同时与以B为公共顶点的三个面相切，球O2同时与以D1为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E，若球O1，O2半径分别为r1，r2，则的最小值为　　 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知命题：，，命题：，.
（1）若为真，求实数的取值范围；
（2）若为假，为真，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知圆过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线过点，被圆所截得的弦长为，求直线的方程.
19.（本小题满分12分）
如图，三棱柱中，是边长为的正三角形，，，、分别为、的中点.
（1）求证：平面﹔
（2）若平面平面，求直线到平面的距离.
20.（本小题满分12分）
已知抛物线C：x2＝4y，过点P（1，﹣2）作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点.
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）记P点关于x轴的对称点为Q点，若△QAB的面积为16，求直线l的方程.
21.（本小题满分12分）
如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，为棱上一点，与交于点，且，，，.
（1）证明：；
（2）是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求出点位置，若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的左焦点为，是椭圆上关于原点对称的两个动点，当点的坐标为时，的周长恰为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于两点，且，求面积的取值范围.
参考答案
1. D.解：命题，为特称命题，则命题的否定为：.故选：D.
2. B解：作出该直观图的原图形，
因为直观图中的线段轴，
所以在原图形中对应的线段CB平行于x轴且长度不变，
因为,所以，所以，
则四边形OABC的周长为.
故选：B.
3.D.解：因为，所以切线的斜率，而直线的斜率，由题设，即，应选答案D.
4. D解：左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案．
5.A.解：由点在抛物线上，可得，解得，即抛物线，焦点坐标，准线方程为.所以，点到抛物线焦点的距离为：.故选：A.
6.D【详解】对A，当，，则或或与相交；对B，当，，，则或与相交；对C，若，，则或或与相交；对D，若，，则.故选：D.
7.C.解：双曲线﹣＝1的离心率为，实轴在x轴上，可得e2＝，解得a＝1或﹣2（舍去）.当双曲线﹣＝1的实轴在y轴上时，e2＝，解得a＝﹣2，或a＝1（舍去）综上a＝1或a＝﹣2.故选：C.
8.B.解：由直线l的斜率为1，得，解得.故选：B.
9.C. 解：已知，即圆心，半径，当直线与圆有两个不同的交点，直线与圆的位置关系是相交关系，所以圆心到直线的距离为，解得，由于要求使得直线与圆相交的充分不必要条件，故只需要满足是的子集的取值范围即可满足.故选：C.
10.A.解：设，则，根据点差法可得，所以直线的斜率为，直线的斜率为，，故选A.
11.D.解：由约束条件作出可行域如图，
＝，
的几何意义为可行域内的动点与定点P（2，0）连线的斜率，求解方程组可得A（﹣3，1），B（1，3），可得，kPB＝﹣3，∴的最大值为.故选：D.
12.D.解：设为双曲线的左焦点，连接 ，
取的中点，由，得，又为的中点，故，
设，则，由得.
根据双曲线的定义得，
在中，有，
化简得，在中，有，
结合，得，所以.故选：D.
13.【答案】-1.【详解】，，，
，把点代入切线方程得：，，故答案为：-1.
14.【答案】【详解】
画出表示的可行域，如图，
将变形为，
平移直线，
由图可知当直经过点的最小，
由可得，可得，
，故答案为：.
15.【答案】【解析】如图所示：取BD的中点N，连接MN，
因为平面BCD，所以平面BCD，
作，H为垂足，连接MH，
则，所以是二面角的平面角，
不妨设，则，
在中，，解得，所以，
所以
16.【答案】
解：正方形的体对角线为，根据相切关系得r1+r2+（r1+r2）＝，
即（r1+r2）（+1）＝，得r1+r2＝，即（r1+r2）＝1，
则＝（） （r1+r2）＝（5++）
≥（5+2）＝（5+4）＝×9＝（1+）×9＝9+3，
当且仅当＝时，即r2＝2r1时取等号.故的最小值为.
故答案为：.
17. 解：（1）若为真：，解得 ………（2分）
∵为真，∴为假，∴或. ……（5分）
（2）由（1）得：真，若为真：，，∴，
∵为假，为真，∴、一真一假.
①真假：，∴； ……………（7分）
②假真：，∴. …………（9分）
综上：的取值范围是. …………（10分）
18.【详解】（1）设圆的标准方程为：，
因为圆过点，，
，解得，所以圆的方程为：； ……（6分）
（2）当斜率不存在时，的方程为，
易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意，所以； ……（7分）
当斜率存在时，设的方程为，即，
则圆心直线的距离，又直线被圆C所截得的弦长为2，
所以，可得，……（9分）
所以，解得，所以直线的方程为即.
综上：的方程为或.……（12分）
19.【详解】（1）如图所示，连接、.
在三棱柱中，四边形为平行四边形，
为的中点，则为的中点，
又因为为的中点，所以，，
而平面，平面，所以平面；
（2）如图，取的中点，连接，
因为是正三角形，为的中点，所以，，
平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为是边长为的正三角形，，，所以.
设直线到平面的距离为，即点到平面的距离为.
由，得，解得.
故直线到平面的距离为.
20.解：（Ⅰ）由题意设直线l的方程为y+2＝k（x﹣1），
由，得到：x2﹣4kx+4k+8＝0
由题意知△＞0，所以k2﹣k﹣2＞0，即k＜﹣1或k＞2，
因为k＞0，所以k的取值范围为（2，+∞）.
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（Ⅰ）知x1+x2＝4k，x1x2＝4k+8，
因为，
所以，即k2﹣k﹣6＝0，
所以k＝3或k＝﹣2，因为k＞2，所以k＝3，
则直线l的方程为3x﹣y﹣5＝0.
21..解：（1）证明：因为四边形为等腰梯形，且
所以为等腰直角三角形 因为，所以，
因为，，所以 所以
又因为平面，平面，
所以平面 因为平面 所以
（2）因为，，所以，即
因为，平面，平面，
所以平面
如图，以为原点，，，分别为，轴建立空间直角坐标系，
由（1）知，
故，，，，，
，，
假设在棱上存在一点满足题意，设，.
所以
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，解得，故
易得平面的一个法向量为
设二面角为，可知二面角为锐二面角
解得，所以存在满足题意的点，位置在靠近点的三等分点处
22.【详解】（1）当点的坐标为时，，所以.
由对称性，，
所以，得
将点代入椭圆方程 中，解得，
所以椭圆方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，
此时.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
由消去整理得：. 显然，
设，则
故
.
因为，所以，
所以点到直线的距离即为点到直线的距离，
所以
，
因为，所以，
所以.综上，.