三明市教研联盟校2021-2022学年高二半期联考
数学试卷
机密★启用前
第Ⅰ卷选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的倾斜角是
A． B． C． D．
2．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则与 相等的向量是
A． B．
C． D．
3．直线截圆所得的弦长为
A． B． C． D．
4．双曲线的右顶点到渐近线的距离为
A． B． C．1 D．2
5．平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，，，，则
A． B． C． D．
6．已知椭圆，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为，则椭圆离心率为
A． B． C． D．
7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为
A． B． C． D．
8．已知正方体的棱长为，定点在棱上（但不在端点，上），点是平面
内的动点，且点到直线的距离与点到点的距离的平方差为，则点的轨迹所在曲线为
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9．下列命题正确的是（ ）
A．当时，直线与直线平行
B．当时，直线与直线垂直
C．当时，曲线与曲线外切
D．当时，直线与直线的交点坐标是
11．已知直线经过抛物线的焦点且与抛物线交于，两点，则（ ）
A． B．
C．坐标原点在以为直径的圆内 D．
11．已知曲线C的方程为，则（ ）
A．当时，曲线C是半径为2的圆
B．存在实数k，使得曲线C的离心率为的双曲线
C．当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
D．“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件
12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（ ）
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值
C．异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[45°，90°]
D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知抛物线：的焦点为，在上有一点，，则的中点到轴的距离为****．
14．若实数满足，则的取值范围为****．
15．双曲线的左 右焦点分别是，，直线与曲线交于，两点，，且，则双曲线的离心率是****．
16．如图所示，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜
边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与
平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值为****．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分10分）
已知空间三点，设，．
（1）设，，求；
（2）若与互相垂直，求．
18.（本题满分12分）
已知以点为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）过点的作圆的切线，求切线方程．
19．（本题满分12分）
如图在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，D为AC中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离．
20. （本题满分12分）
如图，已知三棱柱，平面平面， ，，，分别是的中点．
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面所成角的正弦值．
21．（本题满分12分）
已知抛物线，直线交抛物线C于M、N两点，且线段中点的纵坐标为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）是否存在正数，对于过点，且与抛物线有两个交点，都有抛物线C的焦点F在以AB为直径的圆内？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
22．（本题满分12分）
平面内两个动圆的圆心分别为，，半径分别为，，其中，满足，且
（1）求证：圆与圆相交，并求两圆的交点的轨迹的方程；
（2）过点的动直线与曲线E相交于,两点.在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
高二数学“六校教研联盟校”半期试卷 第1页，共2页三明市教研联盟校2021-2022学年高二半期联考
数学参考答案
一、单项选择题
1-4：CBDA 5-8：BCAD
二、多项选择题
9．AC 10．BC 11．ACD 12．ABD
三、填空题
13．4 14． 15． 16．
四、解答题
17．（10分）解：（1）由题，，所以
设……………2分
又，所以，
整理得，得
所以或........................................................5分
(2)由题可知，
所以，
因为与互相垂直
所以，即
整理得，解得……………………..10分
18．（12分）解：（1）圆心到直线的距离…………2分
又因为点为圆心的圆与直线相切，所以半径……………………3分
所以圆的方程为………………………….5分
（2）当过点的直线斜率不存在时直线方程为，
此时圆心到直线的距离为1，直线与圆相切…………….7分
当过点的直线斜率存在时，设直线斜率为，则，即，……………………………………………………………………..8分
由，…………….10分
解得，直线方程为…………….11分
综上可知：圆的过点的切线方程为和……………..12分
19．（12分）解：（1）证明：连结，设与相交于点E，连接DE，则E为中点．……………1分
又∵D为AC的中点，
∴．…………………………………………3分
∵平面，平面，
∴平面．…………………………………5分
（2）在直三棱柱中，底面ABC，则，……………….6分
又 则又因为，所以，………………………..7分
又是等边三角形，有，所以，即，………..8分
∴，而，……………….10分
则………………………………………………..11分
由（1）知：A、到平面的距离相等，
由等体积法：，可得：到平面的距离为．…………………..12分
20．（12分）（1）如图所示，连接,
等边中，，则，………………………………..1分
平面平面，且平面平面
由面面垂直的性质定理可得：平面，故，……………..3分
由三棱柱的性质可知，而，故，且
曲线面垂直的判定定理可得：平面
又平面，故………………………5分
（2）在底面内作，以点为坐标原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系.
若，则，又，，则，，据此可得：，，，
由可得点的坐标为……………………….7分
设平面的法向量为，则：
据此可得平面的一个法向量为， ………………10分
又平面的一个法向量为，……………………….11分
设平面与平面所成角为，
则…………………………………………………12分
21.（12分）（1）由题可知，设，，则，
由，两式相减得，
整理得
所以抛物线的方程为………………………………………………….4分
（2）存在，理由如下：
设过点的直线与曲线的交点为，，
设直线的方程为，………………………………………………………5分
由得：，，所以，………….7分
又，，
由，可得，
所以，
将代入上式可得：对任意的实数恒成立，………………………11分
所以，解得：，
所以存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有，且的取值范围……………………………………………………………………………12分
22.（12分）解：（1）证明：
因为所以
又因为，所以
所以，圆与圆相交………………………………2分
设点是圆与圆的交点，则
由椭圆的定义可知点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆,则椭圆E的方程为…………………………………………………………………..4分
(2)当直线与轴垂直时，，若，则点在轴上，
可设M…………………………….5分
当直线与轴平行时，,由，有，
解得或
若存在不同于的定点满足条件，则点的坐标只能为……………………7分
下面证明：当定点坐标为时，对任意直线均有，即点在的角平分线上，即.....................................8分
当直线斜率为0时已证.当直线斜率不为0时，可设直线的方程为
联立消去，
设，，则，…………10分
则
所以
所以，在平面直角坐标系中，存在与点不同的定点，使得恒成立………………12分
