(共35张PPT)
第一章 三角函数
§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.3 诱导公式与对称
课程标准 核心素养
1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用． 2．了解诱导公式的推导过程． 3．能利用有关公式解决三角函数的求值，化简或证明问题. 通过本节课公式的推导和学习，重点培养学生的逻辑推理素养，提升学生的数学运算素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
x轴
－sin α
cos α
原点
原点
－sin α
－cos α
y轴
sin α
－cos α
基础自测
1．下列说法中，正确的个数是 ( )
①存在角α，使sin(π＋α)＝sin α.
②当α是第三象限角时，sin(－α)＝sin α.
③sin(α－π)＝－sin α.
④若α，β满足α－β＝π，则sin α＝－sin β.
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 由诱导公式易知③④正确，当α＝kπ(k∈Z)时①成立①，②错误，故选C．
C
2．已知x∈R，则下列等式恒成立的是 ( )
A．sin(－x)＝sin x B．sin(π－x)＝sin x
C．sin(π＋x)＝sin x D．sin(2π－x)＝sin x
[解析] 因为sin(－x)＝－sin x，故A不成立；因为sin(π－x)＝sin x，故B成立；因为sin(π＋x)＝－sin x，故C不成立；因为sin(2π－x)＝－sin x，故D不成立．
B
B
C
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 利用诱导公式求值
例 1
[归纳提升] 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”；
(2)“大化小”：用公式将角化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”：用公式将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
1
题型二 利用诱导公式解决化简、求值问题
例 2
0
[归纳提升] 三角函数式化简的常用方法
①将角化成2kπ±α，n±α，k∈Z的形式．
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数．
题型三 给值(或式)求值问题
例 3
[归纳提升] 解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
课堂检测 固双基
A
2．若cos α＝m，则cos(－α)＝ ( )
A．m B．－m
C．|m| D．m2
[解析] cos(－α)＝cos α＝m.
A
素养作业 提技能第一章 4.3
A 组·素养自测
一、选择题
1．sin 150°的值为( B )
A．－ B．
C．－ D．
2．sin2150°＋sin2135°＋2sin 210°＋cos2225°的值是( A )
A． B．
C． D．
[解析] 原式＝sin230°＋sin245°－2sin30°＋cos245°＝2＋2－2×＋2＝.
3．sin(π－2)＋cos(π－2)的值为( B )
A．sin 2＋cos 2 B．sin 2－cos 2
C．－sin 2＋cos 2 D．－sin 2－cos 2
4．已知sin＝，则sin的值为( C )
A． B．－
C． D．－
[解析] ∵sin＝，
∴sin＝sin＝sin＝.
5．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是( C )
A．sin α＝sin β
B．sin(α－2π)＝sin β
C．cos α＝cos β
D．cos(2π－α)＝－cos β
[解析] 由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos α＝cos β.
6．(多选)已知函数f(x)＝cos，则下列等式不成立的是( ABC )
A．f(2π－x)＝f(x)
B．f(2π＋x)＝f(x)
C．f(－x)＝－f(x)
D．f(－x)＝f(x)
[解析] 对于A，f(2π－x)＝cos＝cos＝－cos≠f(x)，A不成立；对于B，f(2π＋x)＝cos＝cos＝－cos≠f(x)，B不成立；对于C，f(－x)＝cos＝cos＝f(x)≠－f(x)，C不成立，D成立．故选ABC．
二、填空题
7．sin 780°＝ .
[解析] sin 780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin 60°＝.
8．已知cos(508°－α)＝，则cos(212°＋α)＝ .
[解析] 由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.
9．设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 018)＝－1，则f(2 019)的值为 1 .
[解析] 因为f(2 018)＝asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)＝－1，
所以f(2 019)＝a·sin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β)＝asin [π＋(2 018π＋α)]＋bcos [π＋(2 018π＋β)]＝－[asin(2 018π＋α)＋bcos(2 018π＋β)]＝1．
三、解答题
10．已知＝3，求sin(－α)的值．
[解析] ∵
＝
＝＝3.
∴sin α＝－.
又sin(－α)＝－sin α，∴sin(－α)＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选)下列各式正确的是( ACD )
A．sin(α＋180°)＝－sin α
B．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)
C．sin(－α－360°)＝－sin α
D．cos(－α－β)＝cos(α＋β)
[解析] 对于B，cos(－α＋β)＝cos [－(α－β)]＝cos(α－β)，B错误，由诱导公式知A、C、D都正确，故选ACD．
2．(多选)在△ABC中，给出下列四个式子：其中为常数的是( BC )
A．sin(A＋B)＋sin C B．cos(A＋B)＋cos C
C．sin(2A＋2B)＋sin 2C D．cos(2A＋2B)＋cos 2C
[解析] A．sin(A＋B)＋sin C＝2sin C；
B．cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；
C．sin(2A＋2B)＋sin 2C＝sin [2(A＋B)]＋sin 2C
＝sin [2(π－C)]＋sin 2C
＝sin(2π－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
D．cos(2A＋2B)＋cos 2C＝cos [2(A＋B)]＋cos 2C
＝cos [2(π－C)]＋cos 2C
＝cos(2π－2C)＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C．
故选BC．
3．已知A＝＋(k∈Z)，则A构成的集合是( C )
A．{－1,1，－2,2} B．{1，－1}
C．{2，－2} D．{－2，－1,0,1,2}
[解析] 当k为偶数时，A＝2；当k为奇数时，A＝－2.故A构成的集合为{－2,2}．
4．下列三角函数：
①sin；②cos；③sin；④cos；⑤sin(n∈Z)．
其中函数值与sin的值相同的是( C )
A．①② B．①③④
C．②③⑤ D．①③⑤
[解析] ①sin＝(－1)nsinπ＝(－1)n＋1·sin；②cos＝cos＝sin；③sin＝sin；④cos＝cos＝－cos＝－sin；
⑤sin＝sin＝sin，故②③⑤正确．
二、填空题
5．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 180°＝ －1 .
[解析] ∵cos(π－θ)＝－cos θ，
∴cos θ＋cos(π－θ)＝0，
即cos 1°＋cos 179°＝cos 2°＋cos 178°＝…＝cos 90°＝0.
∴原式＝0＋0＋…＋0＋cos 180°＝－1．
6．若sin(π－α)－cos(π＋α)＝，0<α<π，则sin(π＋α)＋cos(2π－α)等于 － .(注：对任意角α，有sin2α＋cos2α＝1)
[解析] sin(π－α)－cos(π＋α)＝，则sin α＋cos α＝.两边平方，化简得sin αcos α＝－<0，由α∈(0，π)，得α∈，又sin(π＋α)＋cos(2π－α)＝－sin α＋cos α，(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，又cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－.
三、解答题
7．已知角α终边上一点P(－4,3)，求
的值．
[解析] 点P到原点O的距离|OP|＝＝5.
根据三角函数的定义得sin α＝，cos α＝－.
＝
＝
＝＝×＝－.
8．已知f(x)＝(n∈Z)．
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求f.
[解析] (1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝＝sin2x；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝
＝
＝＝sin2x，
综上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)知f＝sin2
＝sin2＝sin2＝sin2＝sin2＝.
