第一章 4.4
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知cos ＝，那么sin α等于( A )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] ＝cos＝cos＝－sin α，
所以sin α＝－.故选A．
2．若sin <0，且cos >0，则θ是( C )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[解析] 由于sin＝cos θ<0，cos＝－sin θ>0，即sin θ<0，所以角θ的终边落在第三象限，故选C．
3．已知cos ＝－，则sin 等于( A )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] sin＝sin
＝cos＝－，故选A．
4．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(3π－α)的值为( D )
A．－m B．－m
C．－m D．m
[解析] 由sin(π＋α)＋cos
＝－sin α－sin α＝－2sin α＝－m，
∴sin α＝，
∴cos＋2sin(3π－α)＝sin α＋2sin(π－α)＝3sin α＝m.
故选D．
5．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( D )
A．cos(A＋B)＝cos C
B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos＝sin B
D．sin＝cos
[解析] 在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，故A错；
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，故B错；
由于＋C有可能为钝角，故cos可能小于零，而sin B>0，故C不一定成立．
sin＝sin＝cos.故D正确．
6．(多选)下列三角函数式的值与sin的值相同的是( BC )
A．sin，n∈Z B．cos，n∈Z
C．sin，n∈Z D．cos，n∈Z
[解析] sin＝sin≠sin；
cos＝cos＝sin；
sin＝sin；
cos＝cos＝－cos≠sin，故选BC．
二、填空题
7．计算cos＋sin＝ .
[解析] 依题意，原式＝cos＋sin
＝cos＋sin
＝cos＋sin＝.
8．化简＝ －1 .
[解析] 原式＝
＝＝－1．
9．已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)＝ － .
[解析] 因为cos 10°＝sin 80°，
所以f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos(3×80°)
＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.
三、解答题
10．化简
＋.
[解析] 原式＝＋
＝－sin α＋sin α＝0.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知角α的终边上有一点P(1,3)，则的值为( A )
A．－ B．－
C．－ D．－4
[解析] ∵角α的终边上有一点P(1,3)，在第一象限，
∴由三角函数的定义知sin α＝，cos α＝.
∵
＝＝＝－.
∴选A．
2．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( CD )
A．sin(－x)＝sin x B．sin＝cos x
C．cos＝－sin x D．cos(x－π)＝－cos x
[解析] 因为sin(－x)＝－sin x，故A不成立；
因为sin＝－cos x，故B不成立；
因为cos＝－sin x，故C成立；
因为cos(x－π)＝－cos x，故D成立．故选CD．
3．已知sin＝，则cos的值为( D )
A．－ B．
C． D．－
[解析] ∵sin＝，
∴cos＝cos
＝－sin＝－.
4．已知cos(75°＋α)＝，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( D )
A． B．
C．－ D．－
[解析] ∵cos(75°＋α)＝.
∴sin(α－15°)＋cos(105°－α)
＝sin [(α＋75°)－90°]＋cos [180°－(α＋75°)]
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－.
二、填空题
5．已知sin＝，则sin＝ .
[解析] ∵sin＝cos α＝，
∴sin＝cos α＝.
6．化简＝ －1 .
[解析] 原式＝
＝＝＝－1．
三、解答题
7．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．
[解析] 由sin(α－3π)＝2cos(α－4π)
得sin(α－π)＝2cos α，
即sin α＝－2cos α.
∴
＝
＝
＝－.
8．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式同时成立．
若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．(注：对任意角x，有sin2x＋cos2x＝1成立)
[解析] 由条件得
①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2，③
又因为sin2α＋cos2α＝1，④
由③④得sin2α＝，即sin α＝±，
因为α∈，所以α＝或α＝－.
当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)，
所以β＝，代入①可知符合条件．
当α＝－时，代入②得cos β＝，
又β∈(0，π)．
所以β＝，代入①可知不符合条件．
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．(共44张PPT)
第一章 三角函数
§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质
4.4 诱导公式与旋转
课程标准 核心素养
1．掌握诱导公式的推导，并能对诱导公式作归纳，体会公式的共性与个性． 2．能够利用诱导公式解决简单的求值，化简与证明. 通过诱导公式的推导及应用，逐步培养学生的数学抽象，逻辑推理和数学运算素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
cos α
知识点1
诱导公式
基础知识
－sin α
－cos α
sin α
对任意角α，下列关系式成立(其中k∈Z)．
sin(α＋2kπ)＝_________，cos(α＋2kπ)＝_________，
sin(－α)＝__________，cos(－α)＝_________，sin(α＋π)＝sin(π＋α)＝__________，
cos(α＋π)＝cos(π＋α)＝__________，
sin(α－π)＝__________，cos(α－π)＝__________，
sin(π－α)＝_________，cos(π－α)＝__________，
sin α
知识点2
正弦函数、余弦函数的诱导公式
cos α
－sin α
cos α
－sin α
－cos α
－sin α
－cos α
sin α
－cos α
cos α
－sin α
cos α
sin α
知识点3
诱导公式“函数名不变，符号看象限”
基础自测
D
B
D
cos2α
－sin α
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 利用诱导公式进行化简、求值
例 1
[归纳提升] 利用诱导公式化简三角函数式的步骤
用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即
口诀是：“负化正，大化小，化到锐角再查表”．
题型二 三角恒等式的证明
例 2
[归纳提升] 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．
题型三 诱导公式的综合运用
例 3
题型四 分类讨论思想在三角函数化简中的应用
例 4
[分析] (1)角中含有变量n，因而需对n的奇偶分类讨论；(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看．
[归纳提升] 1．本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将n分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想．
2．在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因．
课堂检测 固双基
[解析] 因为cos θ<0，sin θ>0，∴θ是第二象限角．
B
B
B
素养作业 提技能
