(共41张PPT)
第一章 三角函数
§5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.1 正弦函数的图象与性质再认识
课程标准 核心素养
1．借助单位圆能画出正弦函数的图象； 2．了解正弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值； 3．借助图象理解正弦函数在[0,2π]上的性质. 通过学习正弦函数图象及正弦函数的性质，重点提升学生的逻辑推理，数学运算素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
1．正弦函数的图象
知识点1
正弦函数的图象
基础知识
2.将函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次平移______个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，正弦函数的图象称作正弦曲线.
2π
R
知识点2
正弦函数的性质
值域 [－1,1]
最值
当x＝_______________(k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝_______________(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性 是周期函数，周期为_______(k∈Z，k≠0)，2π是它的最小正周期
奇偶性 奇函数，图象关于______对称
2kπ
原点
单调性
在区间_________________(k∈Z)上单调递增；
在区间_________________(k∈Z)上单调递减
对称轴
________________，k∈Z
对称中心 ___________________.
(kπ，0)，k∈Z
思考：(1)－2π是正弦函数的周期吗？
(2)正弦函数的对称轴之间的距离有什么特点？对称中心呢？
提示：(1)是.2kπ(k∈Z，k≠0)都是它的周期．
(2)对称轴之间的距离差了π的整数倍．对称中心之间也相差了π的整数倍．
基础自测
×
×
√
2．函数y＝sin x是 ( )
A．增函数 B．减函数
C．偶函数 D．周期函数
[解析] 由y＝sin x的性质可知，它为周期函数．
D
A
A
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 正弦函数的图象
用五点法作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1．
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；
(3)求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值．
例 1
[解析] 按五个关键点列表
描点连线得：
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)
题型二 正弦函数的单调性及应用
例 2
[归纳提升] 利用正弦函数单调性比较大小的步骤
(1)一定：利用诱导公式把角化到同一单调区间上．
(2)二比较：利用函数的单调性比较大小．
题型三 正弦函数的值域与最值问题
求函数f(x)＝sin(π＋x)＋sin2x－1的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值．
例 3
[归纳提升]
与正弦函数有关的函数的值域(或最值)的求法
(1)求形如y＝asin x＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sin x≤1)求解．
(2)求形如y＝asin2x＋bsin x＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值．求解过程中要注意正弦函数的有界性．
【对点练习】 设f(x)＝asin x＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g(x)＝b2sin x＋a2的最大值．
题型四 利用正弦函数的图象解不等式
例 4
[归纳提升] 用三角函数图象解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象．
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集．
(3)根据公式一写出定义域内的解集．
课堂检测 固双基
1．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于
( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
[解析] 由sin(－x)－|a|＝－sin x＋|a|，得|a|＝0，故a＝0.
A
B
3．函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象关于 ( )
A．x轴对称 B．y轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
[解析] 在同一坐标系中画出函数y＝sin x与函数y＝－sin x的图象，可知它们关于x轴对称．
A
B
素养作业 提技能第一章 5.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列两种说法：①y＝sin x在(k∈Z)上是增加的；②y＝sin x在第一象限内是增加的( B )
A．均正确 B．①正确、②不正确
C．②正确、①不正确 D．都不正确
[解析] 单调性是针对某个取值区间而言的，所以①正确；②不正确，因为在第一象限，即使是终边相同的角，它们也相差2π的整数倍．
2．下列函数具有奇偶性的是( C )
A．y＝sin x(x>0) B．y＝2sin x(x<0)
C．y＝sin(x≠0) D．y＝
[解析] 对于选项A，定义域为(0，＋∞)，不关于原点对称．
对于选项B，定义域为(－∞，0)，不关于原点对称．
对于选项C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，并且f(－x)＝sin＝－sin＝－f(x)，所以为奇函数．
对于选项D，定义域不关于原点对称．
3．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与y＝交点的个数是( C )
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] 如图，y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与y＝的图象有两个交点．
4．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 画出y＝|sin x|的图象即可解决．借助图象不难看出C符合题意．
5．在[0,2π]上，满足sin x≥的x的取值范围是( B )
A． B．
C． D．
[解析] 由图象得：
x的取值范围是.
6．点M在函数y＝sin x＋1的图象上，则b等于( C )
A． B．
C．2 D．3
[解析] b＝f＝sin＋1＝2.
二、填空题
7．函数y＝sin2x－2sin x的值域是 [－1,3] .
[解析] y＝(sin x－1)2－1，∵－1≤sin x≤1，
∴－2≤sin x－1≤0，
∴0≤(sin x－1)2≤4，可得－1≤y≤3.
8．y＝的定义域为 [2kπ，π＋2kπ](k∈Z) ，单调递增区间为 ，k∈Z .
[解析] ∵sin x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z；当x∈[0，π]时，y＝在上单调递增．
∴其递增区间为：，k∈Z.
9．函数y＝的定义域为 ∪(k∈Z) .
[解析] 为使函数有意义，需满足即0
所以原函数的定义域为∪(k∈Z)．
三、解答题
10．比较大小：
(1)sin与sin；
(2)sin(－320°)与sin 700°.
[解析] (1)∵sin＝sin＝sin，
0<<<，y＝sin x在上是增加的，
∴sin(2)∵sin(－320°)＝sin(－360°＋40°)＝sin 40°，
sin 700°＝sin(720°－20°)＝sin(－20°)．
又函数y＝sin x在上是增加的，
∴sin 40°>sin(－20°)，即sin(－320°)>sin 700°.
B 组·素养提升
一、选择题
1．下列关系式中正确的是( C )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°[解析] sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°，由于正弦函数y＝sin x在区间[0°，90°]上为增函数，所以sin 11°2．方程sin x＝lg x的实根个数有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．无穷多个
[解析] 在同一直角坐标系中作函数y＝sin x与y＝lgx的图象．由图中可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1,10)(i＝1,2,3)是方程sin x＝lgx的解．
3．函数y＝|sin x|的图象( B )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于坐标轴对称
[解析] y＝|sin x|
＝k∈Z，
其图象如图：
4．已知函数f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sin x．设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则( D )
A．aC．c[解析] 由已知函数f(x)在上是增函数，又因为π－2∈，π－3∈，π－3<1<π－2，所以f(π－3)二、填空题
5．函数f(x)＝则不等式f(x)>的解集是 ?x .
[解析] 在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝的图象，如图所示，
当f(x)>时，函数f(x)的图象位于函数y＝的图象上方，此时有－6．函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域是 kπ＋，k∈Z .
[解析] 3－4sin2x>0，解得－∴x∈，k∈Z.
三、解答题
7．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.
(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；
(3)求当f(x)≥时x的取值范围．
[解析] (1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∵当x∈时，f(x)＝sin x，
∴当x∈时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sin x.
又∵当x∈时，x＋π∈，
f(x)的周期为π，
∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin x.
∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x.
(2)如右图．
(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，
∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈.
又∵f(x)的周期为π，
∴当f(x)≥时，x∈，k∈Z.
8．若方程sin x＝在x∈上有两个实数根，求a的取值范围．
[解析] 首先作出y＝sin x，x∈的图象，然后再作出y＝的图象，如果y＝sin x，x∈与y＝的图象有两个交点，方程sin x＝，x∈就有两个实数根．设y1＝sin x，x∈，y2＝.y1＝sin x，x∈的图象如图．
由图象可知，当≤<1，即－1