第一章 5.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．函数f(x)＝xsin 是( A )
A．奇函数
B．非奇非偶函数
C．偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
[解析] 函数f(x)＝xsin＝xcos x，
∵f(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，
且定义域为R，∴f(x)是奇函数．
2．当x∈[0,2π]时，满足sin≥－的x的取值范围是( C )
A． B．
C．∪ D．
[解析] 由诱导公式化简可得cos x≥－，结合余弦函数的图象可知选C．
3．(多选)下列在(0,2π)上的区间能使cos x>sin x成立的是( AC )
A． B．
C． D．∪
[解析] 在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，在(0,2π)上，当cos x＝sin x时，x＝或x＝，结合图象可知满足cos x>sin x的是和，故选AC．
4．函数y＝sin的一个对称中心是( B )
A． B．
C． D．
[解析] y＝sin＝cos 2x，对称中心是函数图象与x轴的交点，将四个点代入验证，只有符合要求，故选B．
5．函数y＝cos x＋|cos x|，x∈[0,2π]的大致图象为( D )
[解析] y＝cos x＋|cos x|
＝，故选D．
6．方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( C )
A．没有根 B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
[解析] 在同一坐标系中作函数y＝|x|及函数y＝cos x的图象，如图所示．
发现有2个交点，所以方程|x|＝cos x有2个根．
二、填空题
7．函数y＝cos，x∈的值域是 .
[解析] 0≤x≤，≤x＋≤，－≤cos≤，所以函数的值域为.
8．函数y＝cos x在区间[－π，a]上是增加的，则a的取值范围是 (－π，0] .
[解析] ∵y＝cos x在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减函数，
∴只有－π
9．函数y＝的减区间为
(k∈Z) .
[解析] 由已知得1－2cos x≥0，∴cos x≤，因此y＝的减区间即为y＝cos x的增区间且cos x≤，所以所求区间为：(k∈Z)．
三、解答题
10．若函数f(x)＝a－bsin x的最大值为，最小值为－，求函数y＝1－acos bx的最值和周期．
[解析] (1)当b>0时，若sin x＝－1，f(x)max＝；
若sin x＝1，f(x)min＝－，
即解得
此时b＝1>0符合题意，所以y＝1－cos x.
(2)当b＝0时，f(x)＝a，这与f(x)有最大值，最小值－矛盾，故b＝0不成立．
(3)当b<0时，显然有
解得符合题意．
所以y＝1－cos(－x)＝1－cos x.
综上可知，函数y＝1－cos x的最大值为，最小值为，周期为2π.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是( B )
A．f(x)是周期为1的奇函数
B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
[解析] 由f(x＋2)＝f(x)可知T＝2，
再f(x)＝sin－1＝－cos πx－1，
∴f(－x)＝－cos(－πx)－1＝－cos πx－1＝f(x)．
2．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是( D )
A．cos 0B．cos 0C．cos 0>cos>cos 1>cos 30°>cos π
D．cos 0>cos>cos 30°>cos 1>cos π
[解析] 在上，0<<<1，又余弦函数在上是减少的，所以cos 0>cos>cos>cos 1>0.
又cos π<0，所以cos 0>cos>cos>cos 1>cos π.
3．函数y＝ln cos x的图象是( A )
[解析] 当x∈时，cos x∈(0,1]，
∴ln cos x≤0，
由此可排除B，C，D，故选A．
4．(多选)若函数f(x)＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则下列说法正确的是( AC )
A．当x∈时，y<0
B．f(0)＝1
C．f＝0
D．围成的封闭图形的面积为2π
[解析] 作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象，函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分，由图可知，A正确；B错误；C正确；
利用图象的对称性，可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积，又∵OA＝2，OC＝2π，
∴封闭图形的面积等于S矩形OABC＝2×2π＝4π，∴D错误．故选AC．
二、填空题
5．若cos x＝，且x∈R，则m的取值范围是 (－∞，－3]∪ .
[解析] ∵＝|cos x|≤1，
∴|2m－1|≤|3m＋2|.
∴(2m－1)2≤(3m＋2)2.∴m≤－3，或m≥－.
∴m∈(－∞，－3]∪.
6．函数y＝logcos x的递增区间是 (k∈Z) .
[解析] 由题知cos x>0，x∈，k∈Z.
又令t＝cos x，y＝logt，则t＝cos x的减区间即为y＝logcos x的增区间．
∴x∈(k∈Z)．
三、解答题
7．已知函数y＝cos x＋|cos x|.
(1)画出函数的简图；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
(3)指出这个函数的单调增区间．
[解析] (1)y＝cos x＋|cos x|
＝
函数图象如图：
(2)由图象可知该函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.
(3)由图象可知函数的单调递增区间为
(k∈Z)．
8．函数f(x)＝－＋acos x－cos2x的最大值为2，求实数a的值．
[解析] 令t＝cos x，由0≤x≤，知0≤cos x≤1，即t∈[0,1]．所以原函数可以转化为y＝－t2＋at＋－＝－2＋＋－，t∈[0,1]．
(1)若≤0，即a≤0时，当t＝0时，
ymax＝－＝2，解得a＝－6.
(2)若0<<1，即0ymax＝＋－＝2，解得a＝3或a＝－2，全舍去．
(3)若≥1，即a≥2时，当t＝1时，
ymax＝－1＋a＋－＝2，解得a＝.
综上所述，可知a＝－6或.(共40张PPT)
第一章 三角函数
§5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.2 余弦函数的图象与性质再认识
课程标准 核心素养
1．借助单位圆能画出余弦函数的图象； 2．了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值； 3．借助图象理解余弦函数在[0,2π]上的性质. 通过学习余弦函数的图象及性质，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理，数学运算等素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
知识点1
余弦函数的图象
基础知识
知识点2
余弦函数的性质
定义域 _______
值域 __________
最值 当x＝_____________(k∈Z)时，ymax＝_____
当x＝___________(k∈Z)时，ymin＝______
周性期 最小正周期是______
单调性 递增区间_______________ (k∈Z)
递减区间_________________ (k∈Z)
R
[－1,1]
2kπ
1
(2k＋1)π
－1
2π
[2kπ－π，2kπ]
[2kπ，2kπ＋π]
奇偶性 _____函数，图象关于_____轴对称
对称性 对称轴方程：__________________
对称中心：______________________
偶
y
x＝kπ(k∈Z)
基础自测
D
[解析] 函数y＝1－cos x是偶函数，其图象关于y轴对称．
B
A
(2k＋1)π(k∈Z)
2kπ(k∈Z)
5．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是_____________________.(用“>”连接)
[解析] 由于0<1<2<3<π，则y＝cos x在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3.
cos 1>cos 2>cos 3
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 余弦函数的图象
用“五点法”画函数y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图．
[分析] 运用“五点法”作图，正确找出五个点是作图的关键．
[解析] 解法一：按五个关键点列表：
例 1
[归纳提升] “五点法”画函数图象是一项重要的基本技能，必须熟练掌握，复杂函数的图象可以化归为基本函数来画，也可借助于图象变换的方法，如平移、对称、翻折等，这些将在后文中讲到．
【对点练习】 用五点法作出函数y＝3＋2cos x在一个周期内的图象．
描点得y＝3＋2cos x在一个周期内的图象(如图所示)：
题型二 余弦函数的单调性及应用
例 2
[归纳提升] 三角函数单调性问题的解题策略
(1)求函数单调区间，应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意定义域及复合函数单调性的规律．
求函数单调区间时，可以利用诱导公式将ω变为正值．由A的符号来确定单调性，若A>0，则其单调区间与余弦函数的单调性一致；若A<0，则单调性相反．
(2)比较大小的一般步骤
①把异名三角函数化为同名三角函数；
②利用诱导公式把同名三角函数转化到同一单调区间上；
③利用三角函数的单调性比较大小．
【对点练习】 (1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是 ( )
A．sin αC．cos αcos β
(2)将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为
______________________________.
B
cos 150°题型三 求余弦函数的值域(最值)
例 3
课堂检测 固双基
A
B
[解析] 由正、余弦函数的单调性判断可知选D．
D
4．不等式cos x>0，x∈[0,2π]的解集是________________.
5．函数y＝cos2x－6cos x＋10的值域为__________.
[解析] 令t＝cos x，
由于x∈R，故－1≤t≤1．
y＝t2－6t＋10＝(t－3)2＋1，
当t＝－1时，即cos x＝－1时函数有最大值17；
当t＝1，即cos x＝1时函数有最小值5.
所以该函数的值域是[5,17]．
[5,17]
素养作业 提技能