第一章 6.1、6.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．函数y＝sin的相位是( D )
A．2 B．
C．3 D．x＋3
2.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离m cm和时间t s的函数关系式为m＝sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( A )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
[解析] T＝＝＝2π.
3．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( A )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
[解析] T＝＝＝6，因为图象过(0,1)点
∴sin φ＝，∵－<φ<，∴φ＝，
故选A．
4．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象( C )
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
[解析] ∵y＝cos(2x＋1)＝cos ，
∴只须将y＝cos 2x的图象向左平移个单位即可得到y＝cos(2x＋1)的图象．
5．(2021·岳阳高一检测)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)的图象，则g(x)＝( C )
A．sin(2x－1) B．sin(2x＋1)
C．sin(2x－2) D．sin(2x＋2)
[解析] f(x)＝sin2x的图象向右平移1个单位后得到g(x)＝f(x－1)＝sin 2(x－1)＝sin(2x－2)的图象．
6．函数y＝sin的单调递减区间是( C )
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
[解析] y＝－sin.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数的单调递减区间是(k∈Z)．
二、填空题
7．设函数f(x)＝2sin，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值是 2 .
[解析] 由题意知f(x1)只能恒等于－2，f(x2)只能恒等于2，最小正周期T＝4.∴|x1－x2|min＝＝2.
8．将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得 y＝sin_6x 的图象．
[解析] 依题意知将y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的后可得y＝sin 6x的图象．
9．函数y＝sin 2x的图象的对称轴方程为 x＝＋(k∈Z) ，对称中心为 (k∈Z) ，奇偶性为 奇函数 .
三、解答题
10．函数y＝sin.
(1)求对称轴方程及对称中心；
(2)求周期及单调递增区间．
[解析] (1)令y＝±1，即sin＝±1，则2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)．
即对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
令y＝0，即sin＝0，则2x＋＝kπ(k∈Z)，
∴x＝－(k∈Z)，
∴函数y＝sin的图象的对称中心为(k∈Z)．
(2)T＝＝π，
令μ＝2x＋，由2kπ－≤μ≤2kπ＋，
即2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，
∴kπ－≤x≤kπ＋，
∴单调递增区间为(k∈Z)．
B 组·素养提升
一、选择题
1．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( C )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
[解析] 将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是y＝sin.
2．函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是( C )
A．98π B．98.5π
C．99.5π D．100π
[解析] 使y＝sin ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50个最小值，则T＝·≤1．
解得ω≥π.
故ω的最小值为99.5π.
3．(多选)关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)的以下说法，不正确的是( AD )
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是偶函数
C．存在φ，使f(x)是奇函数
D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
[解析] φ＝0时，f(x)＝sin x是奇函数，所以A错误，C正确；φ＝时，f(x)＝sin＝cos x是偶函数，所以B正确，D错误．
4．已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是( D )
A． B．
C． D．
[解析] 本小题主要考查三角函数的图象和性质．
∵T＝＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin.
将f(x)左移|φ|个单位后得sin [2(x＋|φ|)＋]＝sin为偶函数．
∴sin＝±1，∴2|φ|＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴|φ|＝kπ＋(k∈Z)，k＝0时φ＝.故选D．
二、填空题
5．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为 － .
[解析] 函数的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
即φ＝kπ－，又因为－<φ<，
所以当k＝0时，φ＝－.
6．函数y＝sin的图象可由函数y＝sin x的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y＝sin x的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换：①图象上所有点向右平移个单位；②图象上所有点向右平移个单位；③图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)；④图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)．
请按顺序写出两次变换的代表序号： ④①或②④ .
三、解答题
7．设函数f(x)＝sin，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．
[解析] (1)最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，
所以当t＝即x＝时，ymin＝－，当t＝即x＝时，ymax＝1．
8．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0,3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．
[解析] (1)将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝sin的图象，故f(x)＝sin.
(2)令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，则4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)，又x∈[0,3π]，所以x∈，f(x)单调递增，x∈，f(x)单调递减，x∈，f(x)单调递增，所以f(x)max＝1，f(x)min＝－1，当x＝0时，y＝，当x＝3π时，y＝－.
故使方程f(x)＝m有唯一实数根的m的取值范围为m∈∪{－1,1}．(共41张PPT)
第一章 三角函数
§6 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象
6.1 探究ω对y＝sin ωx的图象的影响
课程标准 核心素养
1．结合具体实例，了解y＝sin(ωx＋φ)的实际意义； 2．能借助图象了解参数ω，φ的意义； 3．了解参数ω，φ对函数图象的影响. 1．通过学习ω对y＝sin ωx的图象的影响重点培养学生数学抽象，逻辑推理素养．
2．通过学习φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响，重点提升学生的数学抽象，逻辑推理，数学运算素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
(1)定义域：_______.
(2)值域：__________.
(3)周期：最小正周期T＝___________.
R
知识点1
函数y＝sin(ωx＋φ)的性质
基础知识
[－1,1]
思考1：如何画函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期上的图象？
左
知识点2
右
思考2：由一般的函数f(x)的图象怎样得到函数f(x＋a)的图象？
提示：将函数f(x)的图象当a>0时，向左平移a个单位；当a<0时，向右平移－a个单位．
基础自测
×
×
×
B
D
2π
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 函数y＝sin(ωx＋φ)的图象变换
例 1
B
题型二 函数y＝sin(ωx＋φ)中φ的求法
例 2
题型三 函数y＝sin(ωx＋φ)的性质与图象的应用
例 3
[归纳提升] 函数y＝sin(ωx＋φ)单调性问题的解题策略
求y＝sin(ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的系数ω化为正值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的自变量x的范围．
课堂检测 固双基
B
D
3．函数y＝sin(－2x)，x∈[0,2π]的简图是 ( )
D
2
素养作业 提技能
