第一章 6.3
A 组·素养自测
一、选择题
1．要得到函数y＝3sin的图象，只需将函数y＝3sin 2x的图象( C )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
[解析] 由y＝3sin 2(x＋φ)＝3sin，得
∴2φ＝，φ＝.故向左平移个单位．
2．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( A )
A． B．
C． D．
[解析] 因为直线x＝和x＝是函数f(x)的图象中的两条相邻的对称轴，
所以－＝，即＝π，解得T＝2π.
又T＝＝2π，所以ω＝1．所以f(x)＝sin(x＋φ)．
因为直线x＝是函数f(x)的对称轴，
所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝＋kπ(k∈Z)．
又0<φ<π，所以φ＝.
经检验知此时直线x＝也为函数f(x)的对称轴，所以选A．
3．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( B )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
[解析] 函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y＝2sin 2，令2＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，所以所求对称轴的方程为x＝＋(k∈Z)，故选B．
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( A )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
[解析] 由图易知A＝2，因为周期T满足
＝－，所以T＝π，ω＝＝2.
由x＝时，y＝2可知2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，结合选项可知函数解析式为y＝2sin.
5．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝( C )
A．0 B．
C．＋2 D．1
[解析] 由图象可知，A＝2，周期T＝8，故ω＝，又三角函数图象过原点，所以φ＝0，所以f(x)＝2sinx，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝0，即每一个周期内的三角函数值之和为0，因此，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝＋2，故选C．
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为( A )
A．2 B．4
C．6 D．8
[解析] 函数f(x)的周期T≤4＝π，
则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.
二、填空题
7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝ .
[解析] 由图象可得函数f(x)的最小正周期为，
∴T＝＝，ω＝.
8．完成下列填空：
(1)函数y＝2sin的最小正周期为 4 ；
(2)函数y＝sin(ω>0)的最小正周期为，则ω＝ 3 ；
(3)函数y＝4sin＋3sin的最小正周期为 π .
[解析] (1)T＝＝4，∴应填4.
(2)∵＝，∴ω＝3，∴应填3.
(3)∵y＝4sin与y＝3sin的最小正周期都为，∴应填.
9．求函数y＝sin取最大值时，对应的x值的集合为 .
[解析] 函数取最大值时2πx＋＝＋2kπ，k∈Z.解得x＝k－，k∈Z.
三、解答题
10．如何由y＝sin x得到函数y＝3sin的图象．
[解析] 解法一：
B 组·素养提升
一、选择题
1．使函数y＝2sin，x∈[0，π]为增函数的区间是( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由y＝2sin＝－2sin可知，其增区间可由y＝2sin的减区间得到，
即2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
∴kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
令k＝0，故选C．
2．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标缩短到原来的，则所得图象的解析式是( C )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin 4x
D．y＝sin x
[解析] 分清对横坐标还是纵坐标所作的变换，左、右平移是对x变化，并且是对单个的x进行变化，把y＝sin的图象向右平移个单位长度，用代换原解析式中的x，即得函数式y＝sin，即y＝sin 2x，再把y＝sin 2x的图象上的各点的横坐标缩短到原来的，就得到解析式y＝sin 2(2x)，即y＝sin 4x的图象．
3．(多选)函数f(x)＝3sin的图象为C，下列结论中正确的是( ABC )
A．曲线C关于直线x＝对称
B．曲线C关于点对称
C．函数f(x)在区间内是增函数
D．由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到曲线C
[解析] 因为f(x)＝3sin的图象为C，把x＝代入可得f(x)＝－3为函数最小值，故图象关于直线x＝对称，A正确；把x＝代入可得f(x)＝0，故图象关于点对称，故B正确；由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
可得函数的单调增区间为k∈Z，故C正确．
由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数y＝sin＝sin的图象，故D不正确．
4．(多选)关于f(x)＝4sin(x∈R)，其中正确的是( BC )
A．由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍
B．y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos
C．y＝f(x)图象关于对称
D．y＝f(x)图象关于x＝－对称
[解析] 对于A，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)，
∴x＝－(k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，∴A错；
对于B，f(x)＝4sin利用公式，得
f(x)＝4cos
＝4cos，∴B对；
对于C，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，k∈Z，∴x＝－，k∈Z.
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心，∴C对；
对于D，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z，∴D错．故选B，C．
二、填空题
5．函数＝cos的单调增区间是
，(k∈Z) .
[解析] 令t＝2x－，
∴2kπ＋π≤t≤2kπ＋2π时，y＝cos t单调递增．
即：2kπ＋π≤2x－≤2kπ＋2π，k∈Z.
∴单调递增区间为：，k∈Z.
6．函数y＝3sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ＝ ；此时函数y＝3sin(2x＋φ)在上的值域为 .
[解析] 将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝sin＝sin的图象，因为此时函数为偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|<，∴φ＝，因为－≤x≤，∴－≤2x＋≤.
∴－≤sin≤1，
函数y＝3sin(2x＋φ)在上的值域为.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
[解析] (1)由最低点为M，得A＝2.
由T＝π，得ω＝＝＝2.
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．
由点M在图象上，得2sin＝－2，
即sin＝－1．
∴＋φ＝2kπ－(k∈Z)，即φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈，∴φ＝.∴f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x＋∈.
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2.
∴f(x)的值域为[－1,2]．
8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)，图象最低点的纵坐标是－，相邻的两个对称中心是和.
求：(1)f(x)的解析式；
(2)f(x)的值域；
(3)f(x)的对称轴．
[解析] (1)A＝，T＝2＝π，
∴＝π.∴ω＝2.
∴f(x)＝sin(2x＋φ)．
又在f(x)图象上，
∴f＝0.∴sin＝0.
∴sin＝0.
又－π<φ<0，∴φ＝－.∴f(x)＝sin.
(2)值域是[－，]．
(3)令2x－＝＋kπ(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)．
∴对称轴是直线x＝＋(k∈Z)．(共50张PPT)
第一章 三角函数
§6 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象
6.3 探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
课程标准 核心素养
1．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义； 2．能借助图象了解参数A的意义； 3．了解参数A对函数图象的影响. 通过学习A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响重点培养学生的数学抽象，逻辑推理，数学运算素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的图象是将y＝sin(ωx＋φ)的图象上的每个点的纵坐标______(当A＞1时)或______(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)得到的．_____决定了函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为______.
伸长
知识点1
振幅变换
基础知识
缩短
A
振幅
知识点2
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)性质
第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期上的图象，再利用其周期性把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象；
第4步，借助图象讨论性质．
知识点3
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
定义域 R
值域 __________
周期
T＝___________
奇偶性 当φ＝______，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数；当φ＝______________，k∈Z时，y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数
对称轴方程
由ωx＋φ＝______________(k∈Z)求得
对称中心 由ωx＋φ＝_____(k∈Z)求得
[－A，A]
kπ
kπ
基础自测
√
×
√
×
B
2
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
例 1
描点连线得图象如图所示．
题型二 由函数图象确定函数解析式
如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)在一个周期内的图象，试确定A，ω，φ的值，并求出函数的解析式．
例 2
[分析] 结合图象先求出A，T，再利用待定系数法或图象变换法求解．
【对点练习】 函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图，则 ( )
C
题型三 由函数解析式研究性质
例 3
3
课堂检测 固双基
C
2．下列函数中，图象的一部分如图所示的是 ( )
D
C
素养作业 提技能
