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第一章 三角函数
§7 正切函数
7.3 正切函数的图象与性质
课程标准 核心素养
1．了解正切函数的图象． 2．掌握正切函数的性质. 通过学习正切函数的图象与性质，重点培养学生的数学抽象，逻辑推理、数学运算素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
(1)图象：如图所示．
知识点
正切函数的图象与性质
基础知识
正切函数y＝tan x的图象叫作________.
正切曲线
(2)性质：如下表所示.
π
奇函数
思考：(1)正切函数的图象有怎样的特征？
(2)“正切函数在其定义域内是增函数”这种说法是否正确？
基础自测
1．下列说法正确的个数是 ( )
①正切函数的定义域和值域都是R；
②正切函数在其定义域内是单调递增函数；
③函数y＝|tan x|与y＝tan x的周期相等，都是π；
④函数y＝tan x的所有对称中心是(kπ，0)(k∈Z)．
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ①②④错误，③正确，故选A．
A
B
B
D
<
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 正切函数的定义域、值域问题
例 1
A
[－1,3＋2]
题型二 正切函数的单调性及应用
例 2
题型三 正切函数的周期性与奇偶性
例 3
(2)令g(x)＝asin x＋btan x，则f(x)＝g(x)＋2.
因为g(－x)＝asin(－x)＋btan(－x)＝－(asin x＋btan x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．
因为f(3)＝g(3)＋2＝－1，所以g(3)＝－3，
则g(－3)＝3.
故f(－3)＝g(－3)＋2＝3＋2＝5.
A
±2
题型四 数形结合思想—利用图象解三角不等式
观察正切曲线，解不等式tan x>1．
例 4
[归纳提升] 解形如tan x>a的不等式的步骤
易错警示
例 5
③④
[错因分析] 误把正切函数的对称中心认为只有(kπ，0)(k∈Z)．
课堂检测 固双基
D
B
(－∞，－1]∪[1，＋∞)
素养作业 提技能第一章 7.3
A 组·素养自测
一、选择题
1．函数y＝tan的定义域是( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由正切函数的定义域可得，x＋≠＋kπ，
k∈Z，
∴x≠＋kπ，k∈Z.
故函数的定义域为.
2．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点，则φ可以是( A )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] ∵函数的图象过点，
∴tan＝0，
∴＋φ＝kπ，k∈Z，
∴φ＝kπ－，k∈Z，令k＝0，则φ＝－，故选A．
3．函数f(x)＝tan与函数g(x)＝sin的最小正周期相同，则ω＝( A )
A．±1 B．1
C．±2 D．2
[解析] ＝，ω＝±1．
4．函数y＝tan 在一个周期内的图象是( A )
[解析] 由f(x)＝tan ，
知f(x＋2π)＝tan
＝tan ＝f(x)．
∴f(x)的周期为2π，排除B，D．
令tan ＝0，得－＝kπ(k∈Z)．
∴x＝2kπ＋(k∈Z)，若k＝0，则x＝，
即图象过点，故选A．
5．函数y＝tan 的定义域为，则函数的值域为( C )
A．(，＋∞) B．
C．(－，＋∞) D．
[解析] 由
tan＝－.故函数的值域为(－，＋∞)．
6．在区间[－2π，2π]内，函数y＝tan x与函数y＝sin x的图象交点的个数为( B )
A．3 B．5
C．7 D．9
[解析] 在同一直角坐标系中画出函数y＝tan x与函数y＝sin x在区间[－2π，2π]内的图象(图象略)，由图象可知其交点个数为5，故选B．
二、填空题
7．函数y＝3tan的对称中心的坐标为 (k∈Z) .
[解析] 令2x＋＝(k∈Z)，
得x＝－(k∈Z)，
∴对称中心的坐标为(k∈Z)．
8．求函数y＝tan的单调区间是 (k∈Z) .
[解析] y＝tan
＝－tan，
由kπ－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是，k∈Z.
9．函数f(x)＝tan ax(a>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为2，则a的值为 .
[解析] 由题意可得T＝2，所以＝2，a＝.
三、解答题
10．求下列函数的周期及单调区间．
(1)y＝3tan ；
(2)y＝|tan x|.
[解析] (1)y＝3tan＝－3tan，
∴T＝＝4π，
∴y＝3tan的周期为4π.
由kπ－<－得4kπ－∴y＝3tan在(k∈Z)内单调递增，无单调递减区间．
∴y＝3tan在(k∈Z)内单调递减．
(2)由于y＝|tan x|
＝
∴其图象如图所示，由图象可知，周期为π，单调增区间为(k∈Z)，单调减区间为(k∈Z)．
B 组·素养提升
一、选择题
1．若a＝logtan 70°，b＝logsin 25°，c＝logcos 25°，则( D )
A．aC．c[解析] ∵0∴logsin 25°>logcos 25°>logtan 70°.即a2．(2021·河北新高考高一模拟选科)已知函数f(x)＝mtan x－ksin x＋2(m，k∈R)，若f＝1，则f＝( C )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
[解析] ∵f(x)＝mtan x－ksin x＋2(m，k∈R)，f＝1，
∴f＝mtan－ksin＋2＝m－k＋2＝1，
∴m－k＝－1，
∴f＝mtan－ksin＋2＝－m＋k＋2＝3.
3．(多选)下列说法正确的是( BD )
A．tan>tan
B．sin 145°C．函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为
D．函数y＝2tan x的值域是[2，＋∞)
[解析] A错误，tan＝tan＝tan，因为0<<<，函数y＝tan x在上单调递增，所以tan1，故sin 145°4．(多选)已知函数f(x)＝tan x，对任意x1，x2∈(x1≠x2)，给出下列结论，正确的是( AD )
A．f(x1＋π)＝f(x1) B．f(－x1)＝f(x1)
C．f(0)＝1 D．>0
[解析] 由于f(x)＝tan x的周期为π，故A正确；函数f(x)＝tan x为奇函数，故B不正确；f(0)＝tan 0＝0，故C不正确；D表明函数为增函数，而f(x)＝tan x为区间上的增函数，故D正确．
二、填空题
5．给出下列命题：
(1)函数y＝tan |x|不是周期函数；
(2)函数y＝tan x在定义域内是增函数；
(3)函数y＝的周期是；
(4)y＝sin是偶函数．
其中正确命题的序号是 (1)(3)(4) .
[解析] y＝tan |x|是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y＝tan x在每一个区间(k∈Z)内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y＝的周期是.∴(3)对；y＝sin＝cos x是偶函数，∴(4)对．
因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．
6．若tan≤1，则x的取值范围是
(k∈Z) .
[解析] 令z＝2x－，在上满足tan z≤1的z的值是－三、解答题
7．画出函数y＝|tan x|＋tan x的图象，并根据图象求出函数的主要性质．
[解析] 由y＝|tan x|＋tan x知
y＝(k∈Z)．
其图象如图所示．
函数的主要性质为：
①定义域：；
②值域：[0，＋∞)；
③周期性：T＝π；
④奇偶性：非奇非偶函数；
⑤单调性：单调增区间为，k∈Z.
8．已知函数f(x)＝x2＋2xtan θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数的最大值和最小值；
(2)若y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，求θ的取值范围．
[解析] (1)当θ＝－时，tan θ＝－，函数f(x)＝x2－x－1，对称轴为x＝.
∵x∈[－1，]，∴当x＝时，f(x)取得最小值－，
当x＝－1时，f(x)取得最大值.
(2)f(x)＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图象的对称轴为直线x＝－tan θ.
∵y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，
∴－tan θ≤－1或－tan θ≥，
即tan θ≥1或tan θ≤－.
又θ∈，
∴θ的取值范围是∪.