(共40张PPT)
第一章 三角函数
§8 三角函数的简单应用
课程标准 核心素养
会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角形函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 通过对“三角函数的简单应用”的学习，培养学生的逻辑推理，数学抽象，数学运算素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
三角函数作为描述现实世界中________的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要作用．
思考：三角函数模型的应用主要体现在哪几个方面？
提示：三角函数模型的应用体现在两个方面：
①已知函数模型求解数学问题；
②把实际问题转化成数学问题，抽象出有关的数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题．
周期现象
知识点1
三角函数模型的作用
基础知识
第一步：阅读理解，审清题意．
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：收集、整理数据，建立数学模型．
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化．
第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答．
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案．
知识点2
根式利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤
基础自测
B
A
C
A．5 B．6
C．8 D．10
[解析] 正弦函数的解析式中A＝3，所以最高点和最低点相差6，所以水深的最大值为6＋2＝8.故本题正确答案为C．
C
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 三角函数模型在物理中的应用
已知表示电流强度I与时间t的函数关系式I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)．
例 1
[分析] 对于(1)，由于解析式的类型已经确定，只需根据图象确定参数A，ω，φ的值即可．其中A可由最大值与最小值确定，ω可由周期确定，φ可通过特殊点的坐标，解方程求得．对于(2)，可利用正弦型函数的图象在一个周期中必有一个最大值点和一个最小值点来解．
【对点练习】 本例(1)中，在其他条件不变的情况下，当t＝10秒时的电流强度I应为多少？
题型二 建立三角函数模型解决实际问题
如图，一个大风车的半径为8米，风车按逆时针方向匀速旋转，并且12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，设风车开始旋转时其翼片的一个端点P在风车的最低点，求：
(1)点P离地面距离h(米)与时间t(分钟)之间的函数关系式；
(2)在第一圈的什么时间段点P离地面的高度超过
14米？
例 2
[归纳提升] 面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．
A
题型三 数据拟合三角函数问题
处理此类问题时，先要根据表格或数据正确地画出散点图，然后运用数形结合的思想方法求出问题中所需要的相关量，如周期、振幅等，最后根据三角函数的相关知识解决问题．
已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
例 3
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b.
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
[分析] 本题以实际问题引入，注意通过表格提供的数据来抓住图形的特征．
∵0≤t≤24，∴令k分别为0,1,2，得0≤t<3或9∴在规定时间上午8?00时至晚上20?00时之间有6个小时可供冲浪者进行活动，即上午9?00至下午15?00.
[归纳提升] 处理此类问题时，先要根据图表或数据正确地画出简图，然后运用数形结合思想求出问题中的关键量，如周期、振幅等．
例 4
对物理概念理解不清，错求初相
易错警示
课堂检测 固双基
A
C
3．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为 ( )
A．60 B．70
C．80 D．90
C
4．如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)这一天的最大用电量为______万度，最小用电量为______万度；
(2)这段曲线的函数解析式为______________________________.
50
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素养作业 提技能第一章 8
A 组·素养自测
一、选择题
1．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin，s2＝10cos 2t确定，则当t＝时，s1与s2的大小关系是( C )
A．s1>s2 B．s1C．s1＝s2 D．不能确定
[解析] 当t＝时，s1＝5·sin＝5·sin＝－5.
s2＝10·cos＝－5，所以s1＝s2.
2．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置，经过周期后，乙点的位置将移至( D )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
[解析] 利用三角函数周期性的变化判断可知，选D．
3．某商品一年内每件出厂价在5万元基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价7万元，7月份达到最低价3万元，根据以上条件可以确定f(x)解析式是( D )
A．f(x)＝2sin＋5(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝7sin＋5(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝7sin＋5(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin＋5(1≤x≤12，x∈N*)
[解析] 由题意A＝＝2，
＝7－3＝4，T＝8，ω＝＝，
∴f(x)＝2sin＋5
由x＝3时，f(x)最大，×3＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
φ＝－＋2kπ，k∈Z，
∵|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin＋5.
4．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流强度I为( B )
A．5 A B．2.5 A
C．2 A D．－5 A
[解析] 将t＝代入I＝5sin
得I＝2.5 A．
5．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( D )
A．[0,1] B．[1,7]
C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]
[解析] 由已知可得该函数的周期为T＝12，
ω＝＝，
又当t＝0时，A，∴y＝sin，t∈[0,12]，
可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．
二、填空题
6．某城市一年中12个月的平均气温与月份关系可近似用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为 20.5 ℃.
[解析] 由题意得y＝23＋5cos，当x＝10时y＝20.5.
7.如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动．开始时小球在平衡位置上方2 cm处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm，每经过π s小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y与振动时间x的关系式可以是 y＝4sin (x≥0)(答案不唯一) .
[解析] 不妨设y＝Asin(ωx＋φ)．由题知A＝4，T＝π，所以ω＝＝2.当x＝0时，y＝2，且小球开始向上运动，所以有φ＝2kπ＋，k∈Z，不妨取φ＝，故所求关系式可以为y＝4sin(x≥0)．
三、解答题
8．如图，它表示电流I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，在一个周期内的图象．
(1)试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)在任意一段秒的时间内，电流I既能取得最大值A，又能取得最小值－A吗？
[解析] (1)由题图知A＝，T＝2×＝，
∴ω＝＝，所以I＝sin，
又是该函数图象的第二零点，
∴×＋φ＝π，即φ＝，符合|φ|<，
∴I＝sin.
(2)不能．因为由(1)有T＝>，所以不可能．
9．如图为一个缆车示意图，缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.
(1)求h与θ间的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？
[解析] (1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，
故B点坐标为
.
所以h＝5.6＋4.8sin.
(2)点A在圆上转动的角速度是，故t s转过的弧度数为.所以h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h＝10.4 m.
由sin＝1，得t－＝＋2kπ，k∈N，
所以tmin＝30(s)．
即缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．
B 组·素养提升
一、选择题
1．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则t为(秒)时的电流强度为( A )
A．0安培 B．－5安培
C．10安培 D．－10安培
[解析] 由图知，A＝10，函数的周期
T＝2＝，
所以ω＝＝＝100π，将点代入I＝10sin(100πt＋φ)得φ＝，故函数解析式为I＝10sin，再将t＝代入函数解析式得I＝0.
2．(2021·山西孝义高三模拟)如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周时用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述错误的是( C )
A．R＝6，ω＝，φ＝－
B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6
C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)单调递减
D．当t＝20时，|PA|＝6
[解析] 由题意，R＝＝6，T＝60＝，
∴ω＝.
由题意可知，当t＝0时，y＝－3即－3＝6sin φ.
∵|φ|<，∴φ＝－.故A正确；
f(t)＝6sin，
当t∈[35,55]时，t－∈，
∴点P到x轴的距离的最大值为6，故B正确；
当t∈[10,25]时，t－∈，函数y＝f(t)先增后减，故C不正确；当t＝20时，t－＝，P的纵坐标为6，|PA|＝＝6，故D正确．故选C．
3．(多选)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是( BCD )
A．该质点的运动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8 s
[解析] 由题图可知，振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，故A错，D正确；该质点的振幅为5，B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确．综上，BCD正确．
4．(多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(0<φ<π)，则下列说法正确的是( AB )
A．该函数的周期是16
B．该函数图象的一条对称轴为直线x＝14
C．该函数的解析式是y＝10sin＋20(6≤x≤14)
D．这一天的函数关系式也适用于第二天
[解析] 由题意以及函数的图象可知，A＋B＝30，－A＋B＝10，∴A＝10，B＝20.
∵＝14－6，∴T＝16，A正确；
∵T＝，
∴ω＝，∴y＝10sin＋20.
∵图象经过点(14,30)，
∴30＝10sin＋20，
∴sin＝1，
∴φ可以取，∴y＝10sin＋20(0≤x≤24)，B正确，C错；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D错．综上，AB正确．
二、填空题
5．如图是相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(米)在某天从0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为 h＝－6sint .
6．一个物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示：
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间关系的一个三角函数为 y＝4sin ，t∈[0，＋∞)(答案不唯一) .
[解析] 设y＝Asin(ωt＋φ)＋b，则A＝＝＝4.0，b＝＝0，ω＝＝＝，所以y＝4sin ，将(0.4,4.0)代入上式，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，取φ＝－，从而可知y＝4sin ，t∈[0，＋∞)．
三、解答题
7．已知某地一天4时～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin ＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
[解析] (1)由函数解析式易知，当x＝14时，函数取得最大值30，即最高温度为30 ℃，当x＝6时，函数取得最小值10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为20 ℃.
(2)令10sin ＋20＝15，得sin ＝－，
而x∈[4,16]，所以x＝.
令10sin ＋20＝25，得sin ＝，
而x∈[4,16]，所以x＝.
故该细菌能存活的最长时间为－＝(h)．
