第二章 1
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列说法正确的是( C )
A．若|a|>|b|，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a与b不是共线向量
[解析] A中向量不能比较大小，B中向量模相等，可能方向不同，D中不相等的向量可能方向相同或相反，可以是共线向量，于是A，B，D都是错误的，C显然正确．
2．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进100米，则此人位移的方向是( C )
A．南偏东60° B．南偏东45°
C．南偏东30° D．南偏东15°
[解析] 如图所示，此人从点A出发，经由点B，到达点C，
则tan ∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C．
3．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量( D )
A．都相等 B．都共线
C．都不共线 D．模都相等
[解析] 正n边形n条边相等，故这n个向量的模都相等．
4．设O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是( D )
A．相等的向量 B．平行的向量
C．有相同起点的向量 D．模相等的向量
[解析] 这四个向量的模相等．
5.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有( C )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[解析] 根据向量的基本概念可知与平行的向量有，，，共3个．
6．下列说法正确的是( C )
A．平行向量就是向量所在直线平行的向量
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度为0
D．共线向量是在一条直线上的向量
[解析] 平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错．故选C．
二、填空题
7．零向量与单位向量的关系是 共线 (填“共线”“相等”“无关”)．
8．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出 6 个互不相等的非零向量．
[解析] 模为1个单位的向量有2个，如，；模为2个单位的向量有2个，如，；模为3个单位的向量有2个，如，，故共有6个．
9.如图，已知四边形ABCD为正方形，△CBE为等腰直角三角形，回答下列问题：
(1)图中与共线的向量有 ，，，，，， ；
(2)图中与相等的向量有 ， ；
(3)图中与模相等的向量有 ，，，，，，，， .
三、解答题
10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个；
(2)与平行且模为的向量共有几个？
(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？
[解析] (1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．
(2)与向量平行且模为的向量共有24个．
(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个．
B 组·素养提升
一、选择题
1．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E，点F分别在两腰AD，BC上，EF过点P且EF∥AB，则下列等式正确的是( D )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
[解析] 由相等向量的定义，显然＝.
2．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是( B )
A．C A B．A∩B＝{a}
C．C B D．A∩B?{a}
[解析] 因为A∩B中还含有a方向相反的向量，所以B错．
3．锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法正确的是( B )
A．与的夹角是锐角
B．与的夹角是锐角
C．与的夹角是钝角
D．与的夹角是锐角
[解析] 由两向量夹角的定义知，与的夹角的大小是180°－∠B，为钝角，与的夹角是∠A，为锐角，与的夹角与∠C的大小相等，为锐角，与的夹角的大小是180°－∠C，为钝角．
4．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是( ABC )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰好为的模的倍
D．与不共线
[解析]
与相等的向量只有，A正确；由已知条件可得||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||，B正确；如图，过点B作DA的垂线交DA的延长线于E，因为∠DAB＝120°，四边形ABCD为菱形，所以∠BDE＝∠ABE＝30°，在Rt△BED中，||＝，在Rt△AEB中，||＝||＝||，所以||＝＝||，C正确；与方向相同，大小相等，故＝，与共线，D错误．故选ABC．
二、填空题
5．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于 3π .
[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.
6．有下列说法：
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在□ABCD中，一定有＝；
④若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
其中，正确的说法是 ③④⑤ .
[解析] ①两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；②A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；③在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故③正确；④a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；⑤南偏西60°和北偏东60°是两个共线，方向相反，所以两个向量是共线向量，故⑤正确．
三、解答题
7.如图所示，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)与相等的向量有哪些？
(2)与共线的向量有哪些？
(3)若||＝1．5，求||的大小．
[解析] (1)与相等的向量即与同向且等长的向量，有，.
(2)与共线的向量即与方向相同或相反的向量，有，，，，，，.
(3)若||＝1．5，则||＝||＝||＋||＝2||＝3.
8．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
[解析] (1)画出所有的向量如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝.
∴||的最大值为，最小值为.(共43张PPT)
第二章 平面向量及其应用
§1 从位移、速度、力到向量
课程标准 核心素养
1．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义． 2．理解平面向量的几何表示和基本要素. 通过学习向量的有关概念及表示，重点培养学生的数学抽象、直观想象素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
大小
知识点1
向量的概念
基础知识
方向
思考1：有向线段就是向量，对吗？
提示：不对．有向线段的起点、终点是确定的，而向量与起点无关，可以自由平移，它可以用有向线段表示，但不能说有向线段就是向量．
知识点2
与向量有关的概念
零向量 长度为0的向量称为零向量，记作0.任何方向都可以作为零向量的方向．
单位向量 模等于1个单位长度的向量称为单位向量．
相等向量 长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量．向量a与b相等，记作a＝b.
共线(平行)向量 若两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量．a与b共线或平行，记作a∥b.零向量与任一向量共线．
相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量．向量a的相反向量记作－a.
思考2：相等向量的起点相同，对吗？
提示：不对．相等向量是指长度相等且方向相同的向量．所以，两个向量只要长度相等，方向相同，就是相等的向量，与起点的位置无关．
知识点3
向量的夹角
基础自测
1．下列各量：①密度；②浮力；③温度；④风速．其中向量有
( )
A．①② B．②③
C．②④ D．③④
[解析] 主要考查向量与数量的区别．由向量的概念可知：浮力和风速是向量，密度与温度是数量，故选C．实际问题中的一些量(温度、电量等)，尽管它们有正、负之分，但不是表示方向的，它们是数量，而向量是一个既有大小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力等物理量．
C
2．下列关于向量的说法中，正确的是 ( )
A．长度相等的两向量必相等
B．两向量相等，其长度不一定相等
C．向量的大小与有向线段的起点无关
D．向量的大小与有向线段的起点有关
[解析] 长度相等，方向不同的向量并不是相等向量，故A错；两向量相等，必有两向量的长度相等，故B错；向量的大小与有向线段的起点并无关系，故D错．
C
D
4．若对任意向量b，均有a∥b，则a为_____.
[解析] 零向量可以与任意向量平行．
0
②
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 向量的有关概念
例 1
③④
[分析] 利用向量定义、相等向量、单位向量的定义进行判断．
[解析] 时间不是向量，故①不正确．
两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故②不正确．
单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故③正确．
④显然正确，故所有正确命题的序号为③④.
[归纳提升] 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度．如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．
【对点练习】 下列说法中正确的是 ( )
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
[解析] 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确．
D
题型二 向量的几何表示及应用·
例 2
题型三 共线向量与相等向量
例 3
[归纳提升] 相等向量与共线向量的探求方法
寻找相等向量 先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线
寻找共线向量 先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量
①②③
题型四 向量的夹角
例 4
90°
30°
课堂检测 固双基
1．下列说法中，正确的个数是 ( )
①零向量是没有方向的；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 对于①，零向量的方向是任意的，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．
B
2．在同一平面上，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是 ( )
A．一条线段
B．一条直线
C．圆上一群孤立的点
D．一个半径为1的圆
[解析] 由于向量的起点确定，而向量平行于同一直线，所以随着向量模长的变化，向量的终点构成的是一条直线．
B
ABCD
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是__________(填序号)．
(1)(4)
素养作业 提技能
