(共44张PPT)
第二章 平面向量及其应用
§2 从位移的合成到向量的加减法
2.1 向量的加法
课程标准 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加法运算及运算规则，理解其几何意义. 通过学习向量的加法，重点培养学生的数学抽象和逻辑推理、数学建模素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
知识点1
向量的加法
基础知识
平行四边形法则
三角形法则
思考1：共线的两向量相加，其结果怎样？
知识点2
向量加法的运算律
交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
思考2：怎样求作多个向量的和？
提示：(1)由于向量的加法既满足交换律，又满足结合律，因此多个向量的加法运算即可按任意的次序与组合来求作．
(2)向量的多边形法则：
①在平面内任取一点，以此点为起点作第一个向量；
②以第一个向量的终点为起点作第二个向量；
③依次类推，最后以第n－1个向量的终点为起点作第n个向量；
④则以第一个向量的起点为起点，以第n个向量的终点为终点的向量，就是这n个向量的和．
基础自测
×
×
√
√
D
C
D
0
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 向量的加法及几何意义
(1)如图，已知a，b，求作a＋b.
例 1
(2)如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c.
[分析] 用三角形法则或平行四边形法则画图．
[归纳提升] 三角形法则与平行四边形法则的区别与联系
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”．
(2)三角形法则适用于所有的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
联系：平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的．这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解决具体问题时视情况而定．
题型二 向量加法运算律的应用
例 2
[归纳提升] 向量运算中化简的两种方法：
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．
【对点练习】 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：
题型三 向量加法的实际应用
在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
[分析] 解答本题首先正确画出方位图，再根据图形借助于向量求解．
例 3
[归纳提升] 应用向量解决平面几何问题的基本步骤
【对点练习】 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．
若a，b是非零向量，且|a＋b|＝|b|－|a|，则 ( )
A．a，b同向共线
B．a，b反向共线
C．a，b同向共线且|b|>|a|
D．a，b反向共线且|b|>|a|
[错解] B
[辨析] 错解只考虑了向量的方向，但没有注意到其模的大小关系．
对不等式|a＋b|≤|a|＋|b|中等号成立条件理解不清致误
易错警示
例 4
D
[正解] 由于|a＋b|＝|b|－|a|，因此向量a，b是方向相反的向量，且|b|>|a|，故选D．
[误区警示] 弄清a＋b的方向以及模与向量a，b的方向、模之间的关系：
(1)当a与b同向共线时，a＋b与a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(2)当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|；若|a|＝|b|则a＋b＝0.
【对点练习】 已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向
( )
A．与向量a的方向相同
B．与向量a的方向相反
C．与向量b的方向相同
D．不确定
A
课堂检测 固双基
B
C
D
4．作用在同一物体上的两个力F1＝60 N，F2＝60 N，当它们的夹角为120°时，则这两个力的合力大小为 ( )
A．30 N B．60 N
C．90 N D．120 N
[解析] 两个力的合力的大小为F＝F1cos 60°＋F2cos 60°＝60 N．故B正确．
B
0
素养作业 提技能第二章 2.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．(多选)下列等式中正确的是( ABD )
A．a＋0＝a B．a＋b＝b＋a
C．|a＋b|＝|a|＋|b| D．＝＋＋
[解析] 当a与b方向不同时，|a＋b|≠|a|＋|b|.
2.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于( B )
A． B．
C． D．
[解析] ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.
3．下列说法正确的个数为( B )
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a与b的方向相同；
②在△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点．
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；②正确；③错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0.
4．如图，正六边ABCDEF中，＋＋＝( B )
A．0 B．
C． D．
[解析] 连接CF，取CF中点O，连接OE，OA．
则＋＋＝(＋)＋＝.
5．在△ABC中，||＝||＝|＋|，则△ABC是( B )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] ＋＝，则||＝||＝||，
则△ABC是等边三角形．
二、填空题
6．化简下列各式：
(1)＋＋＝ 0 ；
(2)＋＋＋＝ .
[解析] (1)＋＋＝＋＝0.
(2)＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
7．已知在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝ 1 .
[解析] 在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，则BD＝1，所以|＋|＝||＝1．
8.如图所示，若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝ 120° .
[解析] 因为P为△ABC的外心，所以PA＝PB＝PC，因为＋＝，由向量的线性运算可得四边形PACB是菱形，且∠PAC＝60°，所以∠ACB＝120°.
三、解答题
9．化简下列各式：
(1)＋＋＋＋；
(2)(＋)＋＋.
[解析] (1)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0.
(2)方法一：(＋)＋＋＝＋＋＋＝.
方法二：(＋)＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝.
方法三：(＋)＋＋＝(＋＋)＋＝＋＝.
10．如图所示，求：
(1)a＋d；
(2)c＋b；
(3)e＋c＋b；
(4)c＋f＋b.
[解析] (1)a＋d＝d＋a＝＋＝.
(2)c＋b＝＋＝.
(3)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋＝＋＝.
(4)c＋f＋b＝＋＋＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是( A )
A．[3,17] B．(3,17)
C．(3,10) D．[3,10]
[解析] 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及与共线时的情况求解．
即||－||≤||≤||＋||，故3≤||≤17.
2．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( C )
A． B．
C． D．
[解析] ＋＝.
3．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( C )
A．＋＝0 B．＋＝0
C．＋＝0 D．＋＋＝0
[解析] ∵＋＝2，
∴由平行四边形法则，点P为线段AC的中点，
∴＋＝0.故选C．
4．若M为△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( C )
A．＋＋ B．＋＋
C．＋＋ D．3＋
[解析] 由三角形重心性质得＋＋＝0.
二、填空题
5．某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如果他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际 沿与水流方向成60°的(答案不唯一) 方向前进，速度为 8_km/h .
[解析] ∵OB＝4，OA＝4，
∴OC＝8，∴∠COA＝60°.
6．在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，向量||＝2，则＝ .
[解析] 因为在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，所以∠BAD＝60°，又AB＝AD＝2，所以△ABD为等边三角形，因此BD＝2，连接AC与BD且交于O点，则△ABO为Rt△，且AB＝2，BO＝1，AO⊥BO，所以AO＝＝，所以＝＝|＋|＝||＝.
三、解答题
7．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC．求证：＋＝＋.
[解析] ∵＝＋，＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵与大小相等，方向相反，
∴＋＝0.
故＋＝＋＋0＝＋.
8.如图所示，已知矩形ABCD中，||＝4，设＝a，＝b，＝c，试求|a＋b＋c|的大小．
[解析] 如图所示，过D作AC的平行线，交BC的延长线于点E.
∵DE∥AC，AD∥BE，
∴四边形ADEC为平行四边形，
∴＝，＝，
于是a＋b＋c＝＋＋
＝＋＝＋＝＝＋，
∴|a＋b＋c|＝|＋|＝8.
