(共47张PPT)
第二章 平面向量及其应用
§3 从速度的倍数到向量的数乘
课程标准 核心素养
通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个向量共线的含义．了解平面向量的线性运算的性质及其几何意义. 通过学习向量的数乘运算，重点提升学生的逻辑推理和数学运算素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
(1)向量的数乘定义
一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa.它的方向和长度规定如下：
①当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝0；
②|λa|＝|λ||a|.
相反
知识点1
数乘向量及运算律
基础知识
(2)向量数乘的运算律
设a，b为向量，λ，μ为实数，则数乘向量满足：
①结合律：λ(μa)＝_________；
②分配律：(λ＋μ)a＝_________；λ(a＋b)＝_________.
说明：(1)λa的实数λ叫作向量a的系数；
(2)向量数乘运算本质是沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小；
(3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是向量0，而不是数0.
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
思考1：向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？
提示：3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同．
－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反．
(1)定理：给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝______.
(2)定理的含义
λb
知识点2
共线(平行)向量基本定理
判定 b是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得a＝λb，则向量a与非零向量b共线
性质 若向量a与非零向量b共线，则存在一个实数λ，使得a＝λb.
思考2：(1)若b＝2a，b与a共线吗？
(2)如果向量a，b共线，一定有a＝λb(λ∈R)吗？
提示：(1)根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线．只要向量b与a成倍数关系，就一定共线．
(2)不一定．当b＝0，a≠0时，λ不存在．正是因为这一点，定理中要求向量b是非零向量．
知识点3
直线的向量表示
基础自测
×
√
√
√
[解析] |3a|表示向量的模，不表示向量．
B
3．(5a＋b)－(3a－2b)等于 ( )
A．8a－b B．2a＋3b
C．2a－b D．2a－3b
[解析] 原式＝5a＋b－3a＋2b＝2a＋3b.
B
－3
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 向量的线性运算
例 1
[归纳提升] 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
C
A
[解析] (1)①③④正确，②错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.
(2)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.
题型二 用向量的线性运算表示未知向量
例 2
D
题型三 共线向量定理及其应用
例 3
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)
即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1．
2．利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得b＝λa(a≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．
进行向量的线性运算时忽略图形的性质
易错警示
例 4
[误区警示] 在根据平面几何图形进行化简、证明时，要准确应用平面几何图形的性质．应根据题意判断所给图形是否是特殊图形，不能盲目运用特殊图形的性质进行求解．
课堂检测 固双基
1．(2a－b)－(2a＋b)等于 ( )
A．a－2b B．－2b
C．0 D．b－a
B
2．已知λ、 μ∈R，下面式子正确的是 ( )
A．λa与a同向
B．0·a＝0
C．(λ＋μ)a＝λa＋μa
D．若b＝λa，则|b|＝λ|a|
[解析] 对A，当λ>0时正确，否则错误；对B,0·a是向量而非数0；对D，若b＝λa，则|b|＝|λa|.
C
D
C
素养作业 提技能第二章 3
A 组·素养自测
一、选择题
1．点C在直线AB上，且＝3，则等于( D )
A．－2 B．
C．－ D．2
[解析] ＝－＝3－＝2.
2．(多选)下列说法中错误的是( ABC )
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若a，b共线，则b＝λa
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
[解析] 对于A，λ＝0时，结论不成立；
对于B，a≠0时，结论成立；
对于C，|b|＝2|a|时，b与a不一定共线；
对于D，利用平面向量共线定理可知正确．
3．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则＝( A )
A．λ(＋) λ∈(0,1)
B．λ(＋) λ∈
C．λ(－) λ∈(0,1)
D．λ(－) λ∈
[解析] 设P是对角线AC上的一点(不含A、C)，过P分别作BC、AB的平行线，设＝λ，则λ∈(0,1)，于是＝λ(＋)，λ∈(0,1)．
4．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝( D )
A．－ B．＋
C．＋ D．－
[解析] ＝＋＝＋＝－.
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( A )
A． B．
C．－ D．－
[解析] (方法一)：由＝2，
可得－＝2(－) ＝＋，
所以λ＝.故选A．
(方法二)：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝，故选A．
6．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定可以使a，b共线的是( AB )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
[解析] 由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故A可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故B可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不可能．
二、填空题
7．已知向量a，b不共线，实数x，y满足5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝ 3 ；y＝ －4 .
[解析] 因为a与b不共线，根据向量相等得解得
8．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝ －2或 .
[解析] 由题设知＝，
所以3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或.
9．设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为 .
[解析] 由已知＝－＝－
＝(－)＋＝－＋，
∴λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝.
三、解答题
10．已知两个非零向量e1、e2不共线，若＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2.求证：A、B、D三点共线．
[证明] ∵＝＋B＋
＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2
＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6A，
∴∥.
又∵AD和AB有公共点A，∴A、B、D三点共线．
B 组·素养提升
一、选择题
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( C )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
[解析] A错误，因为λ取负数时，a与－λa的方向是相同的；B错误，因为当|λ|<1时，该式不成立；D错误，等号左边的结果是一个数，而右边的结果是一个向量，不可能相等；C正确，因为λ2(λ≠0)一定是正数，故a与λ2a的方向相同．故选C．
2.在□ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F，若＝a，＝b，则＝( D )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
[解析] 解法1：＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
解法2：＝a＋b＝，又＝，∴选D．
3．如图所示，向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则以下等式中成立的是( A )
A．r＝－p＋q
B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q
D．r＝－q＋2p
[解析] ∵＝＋，＝－3＝3，
∴＝.
∴＝＋＝＋(－)．
∴r＝q＋(r－p)．
∴r＝－p＋q.
4．O为平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个动点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( B )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[解析] 由＝＋λ，则－＝λ，则＝λ.
而是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，以这两个单位向量为邻边作平行四边形AB1P1C1，易得平行四边形AB1P1C1是菱形，对角线AP1平分∠B1AC1，且＝，＝，所以＋＝＋＝，则＝λ.
由λ∈[0，＋∞)，可知点P在∠BAC的平分线上，即动点P的轨迹经过△ABC的内心．
二、填空题
5．已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是 2∶3 .
[解析] 因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝2，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3.
6．设点O在△ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|＋2|＝1，则|＋2＋3|＝ 2 .
[解析] 如题图所示，易知|＋2＋3|＝|＋＋2(＋)|＝|2＋4|＝2|＋2|＝2.
三、解答题
7．如图，已知E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形．
[证明] 在△BCD中，
∵G，F分别是CD，CB的中点，
∴＝，＝.
∴＝－＝－
＝.
同理＝.
∴＝，即与共线．
又∵G，F，H，E四点不在同一条直线上，
∴GF∥HE，且GF＝HE.
∴四边形EFGH是平行四边形．
8．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且＝t，求t的值．
[解析] ∵＝＋，
∴3＝2＋，
即2－2＝－.
∴2＝，
即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示．
∵A，M，Q三点共线，
∴设＝x＋(1－x)＝＋(x－1)，
又＝－，
∴＝＋.
又＝－＝－，且＝t，
∴＋＝t.
∴解得t＝.
