第二章 4.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．(多选)给出下面几种说法，其中说法正确的是( ABD )
A．相等向量的坐标相同
B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C．一个坐标对应于唯一的一个向量
D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
[解析] 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误．
2．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是( C )
A． B．
C．(－8,1) D．(8,1)
[解析] ＝－＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8，1)．
3．下列各组向量中，可以作为基底的是( B )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,1)
B．e1＝(1,2)，e2＝(－2,1)
C．e1＝(－3,4)，e2＝
D．e1＝(2,6)，e2＝(－1，－3)
4．已知向量a＝，b＝，若a∥b，则锐角α为( A )
A．30° B．60°
C．45° D．75°
[解析] ∵a∥b，∴sin2α＝×＝，
∴sin α＝±.
∵α为锐角，∴α＝30°.
5．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( B )
A．－6 B．6
C．2 D．－2
[解析] a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，
由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，
∴λ＝6.
6．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝，则顶点D的坐标为( A )
A．(4,5) B．(5，－4)
C．(3,2) D．(1,3)
[解析] 设D点坐标为(x，y)，
则＝(4,3)，＝(x，y－2)，
由＝，得
∴∴D(4,5)．
二、填空题
7．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝ (－3，－5) .
[解析] ∵＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．
8．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，则向量的坐标为 (－3，3) .
[解析] 设点A(x，y)，则
x＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3，
y＝||sin 150°＝6sin 150°＝3，
即A(－3，3)，所以＝(－3，3)．
9．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值为 .
[解析] a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)
∵(a＋λb)∥c，
∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝.
三、解答题
10．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(5λ＋2,7λ＋3)，若第三象限的点P满足＝＋，求实数λ的取值范围．
[解析] 设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)，
又＝＋＝(3,1)＋(5λ，7λ)
＝(3＋5λ，1＋7λ)，
于是由＝＋，
可得(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
所以即
因为点P在第三象限，
所以解得λ<－1．
故所求实数λ的取值范围是(－∞，－1)．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( C )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
[解析] a＋b＝(0,1＋x2)，与y轴平行．
2．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，＝(－1,2)，则＋＝( A )
A．(－2,4) B．(4,6)
C．(－6，－2) D．(－1,9)
[解析] 在平行四边形ABCD中，因为A(1,2)，B(3,5)，所以＝(2,3)．又＝(－1,2)，所以＝＋＝(1,5)，＝－＝(－3，－1)，所以＋＝(－2,4)，故选A．
3．(多选)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( AD )
A．k＝－1 B．k＝1
C．c与d同向 D．c与d反向
[解析] ∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，又a，b不共线，∴∴.∴c＝－d，∴c与d反向．
4．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是( C )
A．k＝－2 B．k＝
C．k＝1 D．k＝－1
[解析] 因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，则∥，又＝－＝(1,2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1．
二、填空题
5．(北京高考)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝ 1 .
[解析] a－2b＝(，3)．因为a－2b与c共线，
所以＝，解得k＝1．
6．已知点P1(2，－1)，点P2(－1,3)，点P在线段P1P2上，且||＝||，则求点P的坐标为 (，) .
[解析] 设点P的坐标为(x，y)，
由于点P在线段P1P2上，则有＝，
又＝(x－2，y＋1)，＝(－1－x,3－y)，
由题意得解得
∴点P的坐标为.
三、解答题
7．如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．
[解析] 由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．
由三角函数的定义，得
x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，
∴B.
x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，
∴D.
∴＝，＝.
8.如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D、M、B三点共线．
[解析] 如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，令||＝1，则||＝1，||＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，又E，D，C，B四点不共线，
∴DE∥BC．
(2)∵M为EC的中点，∴M，
∴＝(－1,1)－＝，
＝(1,0)－＝.
∴＝－，∴∥.
又 MD与MB共点于M，
∴D，M，B三点共线．(共45张PPT)
第二章 平面向量及其应用
§4 平面向量基本定理及坐标表示
4.2 平面向量及运算的坐标表示
课程标准 核心素养
借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 通过学习平面向量及运算的坐标表示，重点培养学生的数学运算，逻辑推理素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
(x，y)
知识点1
平面向量的坐标
基础知识
知识点2
平面向量的坐标运算
文字 符号
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝_________________
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a－b＝_________________
数乘 向量 实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝___________
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx，λy)
(x2－x1，y2－y1)
思考1：符号(x，y)表示什么？
提示：符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．为了加以区分，在叙述中常说点(x，y)或向量的坐标为(x，y)．
设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当a∥b时，有_______________.
(2)当a∥b且b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0时，有_______.即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．
思考2：向量平行的坐标表示的依据是什么？
x1y2－x2y1＝0
知识点3
向量平行的坐标表示
基础自测
×
×
×
√
C
3．已知向量a＝(－1，m)，b＝(－m,2m＋3)，且a∥b，则m等于
( )
A．－1 B．－2
C．－1或3 D．0或－2
[解析] 因为a＝(－1，m)，b＝(－m,2m＋3)且a∥b，所以－1×(2m＋3)－m×(－m)＝0，
即m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3.
4．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝_________.
[解析] 因为2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，所以a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．
C
(7,3)
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 平面向量的坐标表示
例 1
[归纳提升] 求向量坐标的三个步骤：
A
题型二 平面向量的坐标运算
例 2
[归纳提升] 平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行．
A
题型三 向量平行(共线)的判定
例 3
B
[归纳提升] 1．向量共线的判定方法
误把向量的坐标当作点的坐标
易错警示
例 4
[误区警示] 向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向，与终点坐标无关，只有当向量的始点是坐标原点时，向量的坐标与终点的坐标才是一致的．
课堂检测 固双基
B
A
3．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，则向量a＋b－c的坐标为 ( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(2，－1) D．(－1,2)
[解析] 由图可知a＝c＝(1,2)，b＝(1，－2)，所以a＋b－c＝(1，－2)．
A
A
素养作业 提技能
