第二章 5.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知△ABC中，＝a，＝b，若a·b<0，则△ABC是( A )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．任意三角形
[解析] 由a·b<0易知〈a，b〉为钝角．
2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是( B )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
[解析] A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确，故选B．
3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( C )
A．2 B．4
C．6 D．12
[解析] ∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，
∴a2－a·b－6b2＝－72.
∴|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2＝－72.
∴|a|2－2|a|－24＝0.又∵|a|≥0，∴|a|＝6.
4．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，
即a·b＝－2a2，所以cos 〈a，b〉＝＝＝－，所以〈a，b〉＝，故选C．
5．(多选)下列命题中正确的是( ACD )
A．对于任意向量a、b，有|a＋b|≤|a|＋|b|
B．(a·b)2＝a2·b2
C．对于任意向量a·b，有|a·b|≤|a||b|
D．若a、b共线，则a·b＝±|a||b|
[解析] (a·b)2＝(|a||b|cos〈a，b〉)2＝a2·b2cos2〈a，b〉≤a2·b2，故B错误，A，C，D均正确．
6．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( D )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[解析] 由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA．
同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
二、填空题
7．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为 .
[解析] 由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0.整理，得k－2＋(1－2k)cos＝0，解得k＝.
8．(2020·全国Ⅰ卷理)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝ .
[解析] 因为a，b为单位向量，所以|a|＝|b|＝1，
所以|a＋b|＝＝＝＝1，解得2a·b＝－1，
所以|a－b|＝＝＝.
9．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则|2a－b|＝ 2 .
[解析] 设向量b和a的夹角是α，
因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，
所以(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b
＝2－2cos α＝0，所以cos α＝，
所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b
＝8＋4－4××2×＝4，故|2a－b|＝2.
三、解答题
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|.
[解析] (1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61．将|a|＝4，|b|＝3代入上式求得a·b＝－6，所以cos θ＝＝＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( B )
A．－8 B．8
C．－8或8 D．6
[解析] 由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cos θ＝－，sin θ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sin θ＝2×5×＝8.
2．(2020·全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是( A )
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
[解析] 如图，
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是(－1,3)，结合向量数量积的定义式，
可知·等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以·的取值范围是(－2,6)，
故选A．
3．已知△ABC中，若 2＝·＋·＋·，则△ABC是( C )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
[解析] 解法1：由 2－·＝·＋·，
得·(－)＝·(－)，
即·＝·，∴·＋·＝0，
∴·(＋)＝0，则·＝0，即⊥，
所以△ABC是直角三角形，故选C．
解法2：由条件得2＝·(＋)＋·
＝2＋·，
∴·＝0，∴⊥.
4．(多选)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则有( BD )
A．(a·b)c－(c·a)b＝0
B．|a|－|b|<|a－b|
C．(b·c)a－(c·a)b不与c垂直
D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
[解析] 由于b，c不共线，因此(a·b)c不一定等于(c·a)b，只有在a⊥b且a⊥c时，等式才成立，故A错误；由三角形的三边关系知B正确；由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，即(b·c)a－(c·a)b与c垂直，故C错；根据向量数量积的运算可知D正确．
二、填空题
5．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为 － .
[解析] ∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，
∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，
∴a·b＝－|b|2，
∴cos 〈a，b〉＝＝＝－.
6．如图所示，已知圆O为△ABC的外接圆，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则·＋·＋·＝ － .
[解析] ·＝||||cos(180°－∠BAO)，
∵||cos(180°－∠BAO)＝－||cos ∠BAO
＝－||，
∴·＝－||2，
同理，·＝－||2，·＝－||2，
∴·＋·＋·＝－×(62＋72＋82)＝－.
三、解答题
7．已知|m|＝3，|n|＝5，(3m＋2n)·(2m－n)＝－2.
(1)求|m＋n|；
(2)求向量m在向量m＋n方向上的投影向量的长度．
[解析] (1)∵(3m＋2n)·(2m－n)＝－2，
∴6m2＋m·n－2n2＝－2，
∵|m|＝3，|n|＝5，∴m·n＝－6.
∴|m＋n|＝
＝
＝.
(2)∵m·(m＋n)＝m2＋m·n＝9－6＝3，
∴向量m在向量m＋n上的投影向量的长度为＝＝.
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中PQ为圆A的直径，试判断P，Q在什么位置时，·有最大值．
[解析] ∵＝－，＝－＝－－，
∴·＝(－)·(－－)
＝(－·)＋·－2＋·
＝·－r2＋(－)
＝·－r2＋·
＝||||cos ∠BAC－r2＋·
＝bccos ∠BAC－r2＋·.
当与同向时，·的最大值为||||＝ra，
即当与共线且同向时，·有最大值bccos ∠BAC＋ar－r2.(共48张PPT)
第二章 平面向量及其应用
§5 从力的做功到向量的数量积
5.1 向量的数量积
课程标准 核心素养
通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，会计算进行平面向量数量积；通过几何直观，了解平面向量数量积；通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义；会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 通过学习向量的数量积，重点提升学生的数学运算，逻辑推理，数学抽象素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
|a||b|cos θ
知识点1
向量的数量积
基础知识
|a||b|cos 〈a，b〉
0
0
0
|a||b|
－|a||b|
知识点2
投影及数量积的几何意义
(2)投影数量
________________称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为_______.
(3)向量的数量积a·b的几何意义：b的长度_______与a在b方向上投影数量____________的乘积；或a的长度_______与b与a方向上的投影数量____________的乘积．
|a|cos 〈a，b〉
|b|
|a|cos θ
|a|
|b|cos θ
思考1：向量b在向量a上的投影数量与向量a在向量b上的投影数量相同吗？
提示：根据定义，|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量，|a|cos θ叫作向量a在b方向上的投影数量．所以向量b在向量a上的投影数量与向量a在向量b上的投影数量是不同的．
(1)数量积的运算律
对任意的向量a，b，c和实数λ：
①交换律：a·b＝_______；
②与数乘的结合律：λ(a·b)＝(λa)·b＝__________.
③关于加法的分配律：(a＋b)·c＝___________.
b·a
知识点3
数量积的运算性质
a·(λb)
a·c＋b·c
(2)数量积的性质
①若e是单位向量，则a·e＝e·a＝________________；
②若a，b是非零向量，a·b＝0 _______；
③a·a＝________，即|a|＝_____；
④cos 〈a，b〉＝_____(|a||b|≠0)；
⑤|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．
思考2：两向量的数量积的本质是什么？
提示：两向量的数量积是一个数量，而不是向量，其数值可正、可负，可为零，其决定因素为两向量的夹角．
|a|cos 〈a，e〉
a⊥b
|a|2
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)零向量与任一向量的数量积为0. ( )
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0. ( )
(3)若a·b＝b·c，则一定有a＝c. ( )
[解析] (1)根据向量数量积的定义，0·a＝0×|a|×cos θ＝0.
(2)向量a与b可能垂直．
(3)向量b与向量a，c可能垂直，所以a与c不一定相等．
√
×
×
C
－6
0
－16
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 平面向量的数量积
例 1
[分析] (1)根据数量积、模、夹角的定义，逐一进行计算即可．
[归纳提升] 求平面向量数量积的两个方法
(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.
注意：运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影数量，可利用数量积的几何意义求a·b.
B
0
－16
－16
题型二 向量的投影数量
例 2
A
B
－2或3
题型三 向量的模与夹角
(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝______.
(2)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为_____.
[分析] (1)灵活应用a2＝|a|2求向量的模；
(2)由向量的运算律结合向量的夹角公式求解．
例 3
3
忽略向量共线的情形致错
易错警示
例 4
A
课堂检测 固双基
C
B
A
A
素养作业 提技能
