(共40张PPT)
第二章 平面向量及其应用
§5 从力的做功到向量的数量积
5.2 向量数量积的坐标表示
课程标准 核心素养
能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角，能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件．会用向量方法解决简单的平面几何问题. 通过学习数量积的坐标表示，重点培养学生的数学运算、逻辑推理素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
知识点1
平面向量数量积的坐标表示
基础知识
x1x2＋y1y2＝0
思考：由向量长度的坐标表示，能否得出平面内两点间的距离公式？
基础自测
×
×
√
×
2．已知向量a＝(－4,7)，向量b＝(5,2)，则a·b的值是 ( )
A．34 B．27
C．－43 D．－6
[解析] a·b＝－4×5＋7×2＝－6.
D
120°
4．已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，则x＝_____.
[解析] 由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2.
2
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 平面向量数量积的坐标运算
(1)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝ ( )
A．12 B．0
C．－3 D．－11
(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝
( )
A．6 B．5
C．4 D．3
例 1
C
C
(3)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6,3)，若b·c＝14，|c|＝5，则向量c的坐标为_______________.
(3,4)或(4,3)
[归纳提升] 平面向量数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；
二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
1
3
题型二 与平面向量模有关的问题
例 2
A
【对点练习】 (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为______.
(2)已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a的坐标．
题型三 向量夹角和垂直问题
例 3
±3
10
忽视向量共线致误
易错警示
例 4
C
【对点练习】 设a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若a与b的夹角为钝角，求x的取值范围．
课堂检测 固双基
[解析] a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
A
2．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是 ( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝0
C．a∥b D．(a－b)⊥b
[解析] a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b.
D
B
B
－1
素养作业 提技能第二章 5.2、5.3
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则·等于( B )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] ∵＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴·＝1×(－3)＋1×3＝0.
2．(多选)已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为120°，则k等于( AC )
A．－1＋ B．－2
C．－1－ D．1
[解析] ∵|ka－b|＝，
|a＋b|＝＝，
∴(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，
又ka－b与a＋b的夹角为120°，
∴cos 120°＝，
即－＝，
化简并整理，得k2＋2k－2＝0，
解得k＝－1±.
3．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)且(ka＋b)⊥(a－2b)则k＝( C )
A． B．－
C． D．－
[解析] 由题意知(ka＋b)·(a－2b)＝0，
而ka＋b＝(2－k,3k－1)，
a－2b＝(－5,5)，
故－5(2－k)＋5(3k－1)＝0，解得k＝.
4．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b与b垂直，则|a|＝( C )
A．1 B．
C．2 D．4
[解析] 由2a－b与b垂直，得(2a－b)·b＝0，
即2a·b－b2＝0.
故2(－1＋n2)－(1＋n2)＝0，解得n2＝3.
所以，|a|＝＝＝2.
5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于( C )
A． B．
C．5 D．25
[解析] ∵a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，
∴(a＋b)2＝50＝a2＋2a·b＋b2，可得|b|＝5.
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( D )
A． B．
C． D．
[解析] 不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－，n＝－，故选D．
二、填空题
7．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝ 2 .
[解析] 因为a＋b＝(－1，)，
所以|a＋b|＝＝2.
8．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝，则x＝ 1 .
[解析] cos＝，解得x＝1或x＝－4(舍)．
9．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos 〈a，b〉＝ － .
[解析] ∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，
∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝＝2，|b|＝＝10.
∴cos 〈a，b〉＝＝＝－.
三、解答题
10．(1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值；
(2)a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a与b的夹角．
[解析] (1)∵＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，
＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，
∴·＝3×(－1)＋3×6＝15.
又||＝＝3，||＝＝，
∴cos ∠BAC＝＝＝.
(2)a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b|＝5.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，∴θ＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．设x、y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( B )
A． B．
C．2 D．10
[解析] 由a⊥c，得2x－4＝0，则x＝2，由b∥c得－4＝2y，则y＝－2，|a＋b|＝＝.
2．(多选)角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则与夹角的余弦值为( AC )
A．－ B．
C． D．－
[解析] ∵tan α＝－2，∴可设P(x，－2x)，
cos 〈，〉＝＝，
当x>0时，cos 〈，〉＝，
当x<0时，cos 〈，〉＝－.
3．已知向量a＝(2cos θ，2sin θ)，b＝(0，－2)，θ∈，则向量a、b的夹角为( A )
A．－θ B．θ－
C．＋θ D．θ
[解析]
由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限的部分上
∵，设其终点为P，则∠xOP＝θ，
∴a与b的夹角为－θ.
4．(2021·南京期末)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是( A )
A． B．
C．－ D．－
[解析] ∵a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，
∴a－c＝(3－k,3)，
∵(a－c)∥b，∴3(3－k)＝1×3，解得k＝2，
∴a·c＝3×2＋1×(－2)＝4，|a|＝，|c|＝2，
∴cos 〈a，c〉＝＝＝.
二、填空题
5．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝ 2 .
[解析] ∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴a·b＝，|b|2＝1，
∵b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋(1－t)＝1－t＝0，
∴t＝2.
6．如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos ∠DOE的值为 .
[解析]
法一：以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则由已知条件，可得＝，＝.
故cos ∠DOE＝＝＝.
法二：∵＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴||＝，||＝，·＝2＋2＝1，
∴cos ∠DOE＝＝.
三、解答题
7．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
[解析] (1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，
∴＝2，∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2，可得
解得或
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，
∴cos θ＝＝－1．又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
8．在△ABC中，已知A(3,1)，B(1,0)，C(2,3)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)设O为坐标原点，＝m(m∈R)，且(－m)∥，求||.
[解析] (1)由两点间的距离公式，得|AB|＝|AC|＝.
∵＝(－2，－1)，＝(－1,2)，
∴·＝2－2＝0，即AB⊥AC．
∴△ABC为等腰直角三角形．
(2)由题可知＝(2,3)，＝(1,3)，
则－m＝(－2－2m，－1－3m)．
又(－m)∥，
则有3(－2－2m)＋(1＋3m)＝0，解得m＝－，
由两点间的距离公式，得|OC|＝.
∴||＝.
∴||＝|m|·||＝.
