(共42张PPT)
第二章 平面向量及其应用
§6 平面向量的应用
6.1 余弦定理与正弦定理
一、余弦定理
课程标准 核心素养
通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，借助向量的加、减及数量积运算掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 通过推导归纳余弦定理，提升逻辑推理，数学运算，数学抽象素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
知识点1
余弦定理
基础知识
文字语言 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和______这两边与它们的夹角的余弦的积的 _____倍
符号语言 在△ABC中，a2＝__________________，
b2＝__________________，
c2＝__________________
减去
两
b2＋c2－2bccos A
c2＋a2－2cacos B
a2＋b2－2abcos C
推论 在△ABC中，
cos A＝___________，cos B＝___________，
cos C＝___________
说明：余弦定理的理解：
(1)适用范围：任意三角形．
(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．
(3)主要作用：余弦定理的主要作用是实现三角形中边角关系的互化．
思考1：余弦定理与勾股定理之间有何联系？
提示：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
思考2：(1)观察余弦定理的符号表示及其公式变形，你认为余弦定理可以用来求解哪类三角形？
(2)在解题过程中出现什么样的条件时考虑余弦定理去化简变形呢？
提示：(1)①已知两边及其夹角，解三角形；②已知三边，解三角形．
(2)当条件中出现了余弦定理的局部或变形，如a2＋b2，a＋b，ab，cos A等，可以考虑使用余弦定理或变形公式对条件进行化简变形．
知识点2
三角形面积公式
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)余弦定理仅适用于非直角三角形． ( )
(2)在△ABC中，若c2>a2＋b2，则△ABC为钝角三角形． ( )
(3)在△ABC中，若已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角的类型问题，则求解时都只有一个解． ( )
×
√
√
D
C
C
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 已知两边及一角解三角形
例 1
60
4或5
[归纳提升] 已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角．
D
题型二 已知三边解三角形
在△ABC中，a?b?c＝3?5?7，求其最大内角．
[分析] 由已知条件知角C为最大角，然后利用余弦定理求解．
例 2
[归纳提升] 已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，继续用余弦定理求另一个角，进而求出第三个角．
A
120°
题型三 判断三角形的形状
在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状．
[分析] 利用余弦定理将已知等式化为边的关系．
[解析] 已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos B·cos C，
∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋2bccos B·cos C，
∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccos Bcos C＝(bcos C＋ccos B)2＝a2，
∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
例 3
[归纳提升] 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
【对点练习】 在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状．
通分得
a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
题型四 三角形的面积问题
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b2＋c2－a2＝bc.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，求△ABC面积的最大值．
例 4
[归纳提升] 1．利用余弦定理求三角形面积的步骤
(1)依据已知条件，先确定应该求出哪个量．
(2)选择相应的边及相应的角，利用余弦定理求出所需要的量．
(3)利用面积公式求解．
2．求三角形面积的注意点
一是注意选择哪个三角形面积公式；
二是要注意三角形内角和定理的应用．
课堂检测 固双基
D
2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于 ( )
A．60° B．45°
C．120° D．30°
C
C
5．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
素养作业 提技能第二章 6.1 1
A 组·素养自测
一、选择题
1．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( A )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 设△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则a＝3，c＝，∠C＝120°，由余弦定理，得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1．
2．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( D )
A． B．
C． D．
[解析] 设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，
由余弦定理得
cos A＝＝，故选D．
3．(多选)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为( AB )
A．4 B．8
C．4或6 D．无解
[解析] 由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，
利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
4．在△ABC中，若a
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
[解析] ∵c2∵a5．△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝( C )
A． B．
C． D．
[解析] 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又06．已知△ABC的三边长a＝3，b＝5，c＝6，则△ABC的面积为( B )
A． B．2
C． D．2
[解析] 由余弦定理可得cos A＝＝＝.
所以sin A＝，所以S△ABC＝bcsin A＝×5×6×＝2.
二、填空题
7．在△ABC中，B＝45°，AC＝，AB＝2，则BC＝ 3 .
[解析] 由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2BC·ABcos B，又因为B＝45°，AC＝，AB＝2，所以()2＝BC2＋22－2×BC×2×cos 45°，
整理，得BC2－2BC－6＝0，
所以(BC－3)(BC＋)＝0，
解得BC＝3或BC＝－(舍去)，
所以BC边的长为3.
8．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝，c＝1＋，且a2＝b2＋c2－2bcsin A，则边a＝ 2 .
[解析] 由已知及余弦定理，得sin A＝＝cos A，
∴A＝45°，∴a2＝b2＋c2－2bccos 45°＝4，a＝2.
三、解答题
9．在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求角A、B、C．
[解析] 在△ABC中，由余弦定理，得
cos C＝＝
＝＝.
∴C＝45°；同理A＝30°.
∴B＝180°－(A＋C)＝180°－(30°＋45°)＝105°.
10．在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，试判断△ABC的形状．
[解析] 由余弦定理知cos B＝，
代入c＝acos B，得c＝a·，
∴c2＋b2＝a2.
∴△ABC是以A为直角的直角三角形．
又∵b＝asin C，∴b＝a·.∴b＝c.
∴△ABC也是等腰三角形．
综上所述，△ABC是等腰直角三角形．
B 组·素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为( B )
A． B．
C． D．3
[解析] 如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝，AC＝4.
∵cos A＝＝，
∴sin A＝.
故BD＝AB·sin A＝3×＝.
2．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于( D )
A．－ B．－
C． D．
[解析] ∵·＝||·||·cos 〈，〉，
由向量模的定义和余弦定理可以得出||＝3，||＝2，cos 〈，〉＝＝.
故·＝3×2×＝.
3．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是( C )
A．1C．[解析] 若a是最大边，则cos A>0，
∴>0，由b＝1，c＝2，可解得a<；
若c是最大边，则cos C>0，
∴>0，解得a>.
∴a的取值范围是4．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是( C )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．非钝角三角形
[解析] 由题意可知AC边最大，故角B最大，所以cos B＝＝＝－<0，故△ABC为钝角三角形．
二、填空题
5．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为 .
[解析] ∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，
∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理，得cos C＝＝＝，
∵06．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝ 4 .
[解析] 因为b＋c＝7，所以c＝7－b.
由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B，即b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4.
三、解答题
7．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
[解析] 由余弦定理的推论，得
cos A＝＝＝，
设中线长为x，由余弦定理知：
x2＝2＋AB2－2··ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49，则x＝7.所以，AC边上的中线长为7.
8．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．
[解析] (1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
∴a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2cos A＝1，∴cos A＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝，
∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.①
又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，
∴
∴b＝c＝，
于是a＝b＝c＝，即△ABC为等边三角形．