(共44张PPT)
第二章 平面向量及其应用
§6 平面向量的应用
6.1 余弦定理与正弦定理
二、正弦定理
课程标准 核心素养
通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 通过推导归纳正弦定理，提升逻辑推理，数学运算，数学抽象素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
正弦
知识点1
正弦定理
基础知识
说明：正弦定理的理解：
(1)适用范围：任意三角形．
(2)结构特征：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦．
(3)主要作用：正弦定理的主要作用是实现三角形边角关系的互化及解决三角形外接圆问题．
知识点2
正弦定理的常见变形
说明：利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题
(1)已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角．
思考：在△ABC中，若已知a>b，如何利用正弦定理得到sin A>sin B
提示：由a>b，且a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，可得2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B．
基础自测
×
×
×
A
D
4．已知△ABC外接圆半径是2，A＝60°，则BC边长为______.
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 已知两角和一边解三角形
例 1
[归纳提升] 已知任意两角和一边，解三角形的步骤：
(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角．
(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．
A
题型二 已知两边和其中一边的对角解三角形
例 2
[归纳提升] 已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况．基本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值．判断解的情况．(2)求角：先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三角．(3)求边：根据正弦定理求第三条边的长度．
题型三 判断三角形的形状
在△ABC中，若(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状．
例 3
[分析]
[归纳提升] 在判断三角形的形状时，一般考虑从两个方向进行变形：一个方向是边，走的是代数变形途径，通常是正、余弦定理结合；另一个方向是角，走的是三角变换途径．由于高考重点考查的是三角变换，故解决此类问题时，可先考虑把边转化成角，若用此种方法不好解决问题，再考虑把角转化成边，但计算量常较大．
【对点练习】 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
题型四 正、余弦定理的简单综合
例 4
课堂检测 固双基
C
2．已知在△ABC中，角A、B所对的边分别是a和b，若acos B＝bcos A，则△ABC一定是 ( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] ∵acos B＝bcos A，∴由正弦定理，得sin Acos B＝sin Bcos A，∴sin(A－B)＝0，
由于－π
A
2
素养作业 提技能第二章 6.1 2
A 组·素养自测
一、选择题
1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝( B )
A． B．
C． D．1
[解析] 由＝，知＝，即sin B＝，选B．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为( D )
A．－ B．
C．1 D．
[解析] 由正弦定理得＝
＝－1＝－1＝.
3．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则sin A＝( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由已知，得＝×2××sin A，
∴sin A＝.
4．在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是( D )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
[解析] 由3b＝2asin B，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝，即sin A＝.又角A是锐角，所以A＝60°.又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C．故△ABC为等边三角形，故选D．
5．(多选)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B可以为( AC )
A．60° B．30°
C．120° D．150°
[解析] 由正弦定理可知＝，
∴sin B＝＝＝，
∵a6．已知△ABC中，若a＝6，b＝12，A＝60°，则此三角形解的情况为( C )
A．一解 B．两解
C．无解 D．解的个数不确定
[解析] 方法一：由正弦定理和已知条件得＝，∴sin B＝.∵>1，∴此三角形无解．
方法二：∵a＝6，bsin A＝6，∴a方法三：在角A的一边上确定顶点C，使AC＝b＝12，作∠CAD＝60°，以顶点C为圆心，CB＝a＝6为半径画圆，如图所示，该圆与AD没有交点，说明该三角形无解．
二、填空题
7．在△ABC中，若B＝2A，a?b＝1?，则A＝ 30° .(提示：sin 2A＝2sin Acos A)
[解析] 由正弦定理＝知，
＝＝，
所以sin B＝sin A＝sin 2A．
所以cos A＝，因为A为△ABC的内角，
所以A＝30°.
8．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为 .
[解析] 由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cos 120°，整理得：
AC2＋5·AC－24＝0，解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，
再由正弦定理可得＝＝.
9．在△ABC中，C＝，a＝1，c＝，则sin A＝ ，△ABC的面积为 .
[解析] 由正弦定理＝得sin A＝＝＝.
由a所以S△ABC＝acsin B＝×1××sin＝.
三、解答题
10．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋c)(sin A－sin C)＝(a－b)sin B．
(1)求角C；
(2)若a＝4，△ABC的面积为，求c.
[解析] (1)因为(a＋c)(sin A－sin C)＝(a－b)sin B，
由正弦定理得a2－c2＝(a－b)b，
即a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理得cos C＝＝＝.
因为0(2)因为a＝4，△ABC的面积为，
所以absin C＝，
即×4b×＝，解得b＝.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋－2×4××＝，所以c＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为( A )
A．A>B B．AC．A≥B D．A，B的大小关系不确定
[解析] 设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵sin A>sin B，∴2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)，即a>b，故A>B．
2．(2021·湖南长沙一中月考)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝，C＝，sin B＝2sin A，则△ABC的周长是( C )
A．3 B．2＋
C．3＋ D．4＋
[解析] 已知sin B＝2sin A，由正弦定理可得，b＝2a，
∵c＝，C＝，
则由余弦定理可得，cos＝，解得a＝1，b＝2.
故△ABC的周长是3＋.
3．(2021·天津和平区期末)在△ABC中，sin2B＋sin2C－sin2A＝－sin Bsin C，则A等于( C )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
[解析] 由正弦定理的推广＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，得sin A＝，sin B＝，sin C＝，
从而原等式等价于b2＋c2－a2＝－bc.
由cos A＝，得cos A＝－.
又0°4．(2021·湖南长沙模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝120°，sin C＝，c＝2，则△ABC的面积等于( A )
A． B．2
C． D．
[解析] ∵B＝120°，sin C＝，c＝2，
∴由正弦定理＝，可得b＝＝，
∴由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，可得7＝a2＋4－2×a×2×，可得a2＋2a－3＝0，解得a＝1，或a＝－3(不合题意，舍去)．
∴S△ABC＝absin C＝×1××＝.
二、填空题
5．在△ABC中，已知a?b?c＝4?3?5，则＝ 1 .
[解析] 设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得＝＝1．
6．在△ABC中，A＝，a＝c，则角C的值为 ，＝ 1 .
[解析] 在△ABC中，A＝，a＝c，
由正弦定理可得＝，
＝，sin C＝，由于c故C＝，
则B＝π－－＝.
∴△ABC是等腰三角形，B＝C，则b＝c，则＝1．
三、解答题
7．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)b＝3，c＝3，B＝30°.
[解析] (1)a＝10，b＝20，a20sin 60°＝10，
所以a(2)方法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，a＝b，∴A＝30°，∴C＝120°.
当a＝6时，由正弦定理得sin A＝＝＝1，
∴A＝90°，C＝60°.
故a＝3，A＝30°，C＝120°或a＝6，A＝90°，C＝60°.
方法二：由正弦定理得sin C＝＝＝，
又c>b，∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理得
a＝＝＝6.
当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.
故a＝3，A＝30°，C＝120°或a＝6，A＝90°，C＝60°.
8．平面四边形ABCD中，边BC上有一点E，∠ADC＝120°，AD＝3，sin ∠ECD＝，DE＝，CE＝.
(1)求AE的长；
(2)已知∠ABC＝60°，求△ABE面积的最大值．
[解析] (1)在△CED中，由正弦定理可得＝，
即＝，
所以sin∠CDE＝，
因为CE故∠CDE＝30°，又∠ADC＝120°，
所以∠ADE＝90°，
在直角△ADE中，AE2＝AD2＋DE2＝32＋3＝12，所以AE＝2.
(2)在△ABE中，AE＝2，∠ABC＝60°，
由余弦定理可得AE2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos 60°，
即12＝AB2＋BE2－AB·BE，
因为AB2＋BE2≥2AB·BE，
所以AB·BE＋12≥2AB·BE，
即AB·BE≤12，
当且仅当AB＝BE＝2时等号成立，
所以S△ABE＝AB·BEsin 60°＝AB·BE≤3.
所以△ABE面积的最大值为3.