第二章 6.1 3 第二课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为( D )
A．10 km B． km
C．10 km D．10 km
[解析] 在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos ∠ABC＝100＋400－2×10×20cos 120°
＝100＋400－2×10×20×＝700，
∴AC＝10，即A、C两地的距离为10 km.
2．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是( D )
A．γ，c，α B．b，c，α
C．c，α，β D．b，α，γ
[解析] 本题中a、c、β这三个量不易直接测量，故选D．
3．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳两场馆B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h(A，B，C在同一铅垂面内)，则两个场馆B，C间的距离为( B )
A． B．
C． D．
[解析] 在Rt△ADC中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝.
4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( C )
A．5 n mlie B．5 n mlie
C．10 n mlie D．10 n mlie
[解析] 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，
∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，
在Rt△ABC中，求得AB＝5，
∴这艘船的速度是＝10(n mlie/h)．
5．(多选)某人向正东方向走了x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他恰好离出发地 km，那么x的值为( AC )
A． B．2
C．2 D．5
[解析] 本题考查余弦定理的应用．由题意得()2＝32＋x2－2×3xcos 30°，解得x＝或2，故选AC．
6．如图所示，从气球A上测得正前方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽BC的长为( C )
A．240(－1) m B．180(－1) m
C．120(－1) m D．30(＋1) m
[解析] 由题意知在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60 m，∴AC＝120 m.
在△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝105°，
由正弦定理得BC＝＝
＝120(－1)(m)．
二、填空题
7．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是 km.
[解析] 如图所示，由题意易知C＝45°，
由正弦定理得＝，从而AC＝×＝(km)．
8．一只蜘蛛沿正北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x＝ .
[解析] 如图，
由题意知，∠BAC＝75°，∠ACB＝45°，∠B＝60°，
由正弦定理，得＝，
∴x＝＝＝.
9．坡度为45°的斜坡长为100 m，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长 50(－) m.
[解析]
如图，BD＝100，∠BDA＝45°，∠BCA＝30°，
设CD＝x，所以(x＋DA)·tan 30°＝DA·tan 45°，
又DA＝BD·cos 45°＝100×＝50，
所以x＝－DA＝－50
＝50(－)m.
三、解答题
10.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，求建筑物的高度．
[解析] 设建筑物的高度为h，由题图知，
PA＝2h，PB＝h，PC＝h，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得
cos ∠PBA＝，①
cos ∠PBC＝.②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，
∴cos ∠PBA＋cos ∠PBC＝0.③
由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 km，则A、B两船的距离为( D )
A．2 km B．3 km
C． km D． km
[解析] 如图可知∠ACB＝85°＋(90°－25°)＝150°，
AC＝2，BC＝，
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 150°＝13，
∴AB＝(km)．
2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( A )
A． n mile/h B．34 n mile/h
C． n mile/h D．34 n mile/h
[解析] 如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，∴v＝＝(n mile/h)．
3．如图，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18 km，速度为1 000 km/h，飞行员到达A点处看到山顶的俯角为30°，经过1 min后到达B点处看山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为( B )
A．11.4 km B．6.6 km
C．6.5 km D．5.6 km
[解析] 本题考查正弦定理的实际应用．
∵AB＝1 000×＝(km)，
∴BC＝·sin 30°＝(km)．
∴航线离山顶的距离为×sin 75°＝×≈11．4(km)．
∴山顶的海拔为18－11．4＝6.6(km)．故选B．
4．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为( D )
A．500 m B．200 m
C．1 000 m D．1 000 m
[解析] ∵∠SAB＝45°－30°＝15°，
∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，
在△ABS中，AB＝＝
＝1 000，
∴BC＝AB·sin 45°＝1 000×＝1 000(m)．
二、填空题
5．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站10 n mile，20 min后测得海盗船距观测站20 n mlie，再过 min，海盗船到达商船．
[解析] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A，B，C处，20 min后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得
cos ∠ADC＝＝＝.
∴∠ADC＝60°，在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，
∠BAD＝60°－30°＝30°，
∴BD＝AD＝20，×60＝(min)．
6．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝ 150 m .
[解析] 如图，
在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，∴AC＝100.
在△AMC中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°，
∴∠AMC＝45°.
由正弦定理知＝，∴AM＝100.
在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，
∴MN＝AM·sin 60°＝100×＝150(m)．
三、解答题
7.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
[解析] (1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos ∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为＝14 n mile/h.
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，
由正弦定理，得＝.
即sin α＝＝＝.
8.如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6 km的速度步行了1 min后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.
(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；
(2)求塔的高AB．(结果保留根号，不求近似值)
[解析] (1)依据题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6 000×＝100(m)，
∠BDC＝45°－30°＝15°，
由正弦定理，得＝，
∴BC＝＝＝
＝＝50(－1)(m)，
在Rt△ABE中，tan α＝，
∵AB为定长，当BE的长最小时，α取最大值60°，
这时BE⊥CD，当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，EC＝BC·cos ∠BCE＝50(－1)·＝25(3－)(m)，
设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t min，则t＝×60＝×60＝(min)．
(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE＝BC·sin ∠BCD，
所以AB＝BE·tan 60°＝BC·sin ∠BCD·tan 60°＝50(－1)××＝25(3－)(m)，即所求塔高为25(3－) m.第二章 6.1 3 第一课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．在△ABC中，若＝，则角B等于( B )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[解析] 由正弦定理知＝，∵＝，∴sin B＝cos B，∵0°
2．在△ABC中，b＝7，c＝5，B＝，则a的值为( D )
A．3 B．4
C．7 D．8
[解析] 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
∴49＝a2＋25－5a，
∴a2－5a－24＝0，
∴a＝8或a＝－3(舍去)，∴a＝8.
3．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是( B )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
[解析] 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，
又∵b2＝ac，
∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，
∵B＝60°，∴A＝C＝60°.
故△ABC是等边三角形．
4．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( B )
A．75° B．60°
C．45° D．30°
[解析] ∵3＝×4×3sin C，∴sin C＝，
∵△ABC为锐角三角形，∴C＝60°，故选B．
5．在△ABC中，已知(b＋c)?(a＋c)?(a＋b)＝4?5?6，则sin A?sin B?sin C等于( B )
A．6?5?4 B．7?5?3
C．3?5?7 D．4?5?6
[解析] ∵(b＋c)?(c＋a)?(a＋b)＝4?5?6，
∴＝＝.
令＝＝＝k(k>0)，
则，解得
∴sin A?sin B?sin C＝a?b?c＝7?5?3.
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( C )
A．3 B．
C． D．3
[解析] 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a－b)2＋6，
∴ab＝6，∴S△ABC＝absin C＝×6×＝.
二、填空题
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 .
[解析] 根据正弦定理有：sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
所以2sin Bsin C＝4sin Asin Bsin C，
因为B，C∈(0，π)，
所以sin B≠0，sin C≠0，
所以sin A＝.因为b2＋c2－a2＝8，
所以cos A＝＝＝，
所以bc＝，所以S＝bcsin A＝.
8．在△ABC中，A＝60°，最大边长与最小边长是方程x2－9x＋8＝0的两个实根，则边BC长为 .
[解析] ∵A＝60°，
∴可设最大边与最小边分别为b、c.
由条件可知，b＋c＝9，bc＝8，
∴BC2＝b2＋c2－2bccos A
＝(b＋c)2－2bc－2bccos A
＝92－2×8－2×8×cos 60°
＝57，
∴BC＝.
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos C＝，若·＝，且a＋b＝9，则c＝ 6 .
[解析] 因为·＝，所以abcos C＝，所以ab＝20，又因为a＋b＝9，
所以a2＋2ab＋b2＝81，
所以a2＋b2＝41，
所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝36，解得c＝6.
三、解答题
10．如图所示，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积．
[解析] 如图，连接BD，则四边形ABCD的面积为S＝S△ABD＋S△CDB＝AB·ADsin A＋BC·CDsin C．
因为A＋C＝180°，所以sin A＝sin C，
所以S＝(AB·AD＋BC·CD)sin A＝(2×4＋6×4)sin A＝16sin A．
在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝22＋42－2×2×4cos A＝20－16cos A．
在△CDB中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcos C＝52－48cos C．
所以20－16cos A＝52－48cos C．
因为cos C＝－cos A，所以64cos A＝－32，
所以cos A＝－，又0°B 组·素养提升
一、选择题
1．已知锐角三角形ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为( A )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
[解析] 由题意，得S△ABC＝||·||·sin A＝×4×1×sin A＝，
∴sin A＝，又∵A∈，∴cos A＝.
∴·＝||·||·cos A＝4×1×＝2.
2．在△ABC中，lga－lgb＝lgsin B＝－lg，∠B为锐角，则∠A的值是( A )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[解析] 由题意得＝sin B＝，又∵∠B为锐角，
∴B＝45°，又＝＝，sin A＝sin B×＝，
∴∠A＝30°.
3．(多选)在△ABC中，周长为7.5 cm，且sin A?sin B?sin C＝4?5?6，下列选项正确的是( AC )
A．a?b?c＝4?5?6
B．a?b?c＝2??
C．a＝2 cm，b＝2.5 cm，c＝3 cm
D．A?B?C＝4?5?6
[解析] 由正弦定理知a?b?c＝4?5?6，故A正确，B错，D错；结合a＋b＋c＝7.5，知a＝2，b＝2.5，c＝3，∴C正确．
4．已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的取值范围是( B )
A．(8,10) B．(2，)
C．(2，10) D．(，8)
[解析] 若a是最大边，则
∴3≤a<.
若3是最大边，则
∴2二、填空题
5．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为 .
[解析] 本题考查正弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式，由正弦定理可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即2a－2b＋ab＝b2＋c2－bc，将a＝2代入可得b2＋c2－bc＝4，所以4≥bc.当且仅当b＝c＝2时等号成立，所以S△ABC＝bcsin A，当角A＝60°时有最大值为.
6．如图，若圆内接四边形的边长依次为25,39,52和60，则cos A＝ 0 ，该圆的直径长度为 65 .
[解析] 由余弦定理得BD2＝392＋522－2×39×52cos C，
BD2＝252＋602－2×25×60cos A，
∵A＋C＝180°，∴cos C＝－cos A，
∵(392－252)－(602－522)＋2×39×52cos A＋2×25×60cos A＝0，
∴cos A＝0.∵0°∴A＝90°，∴BD2＝392＋522＝652，
∴BD＝65.
三、解答题
7．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．
[解析] (1)由余弦定理及已知条件得a2＋b2－ab＝4，
又∵△ABC的面积为，故absin C＝，得ab＝4.
联立方程组
得
(2)∵sin B＝2sin A，
由正弦定理得b＝2a，
联立方程组
得
故△ABC的面积S＝absin C＝.
8．如图所示，在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠BAD＝45°，AB＝2，BD＝2.
(1)求∠ADB的大小；
(2)若DC＝2，求四边形ABCD的面积．
[解析] (1)在△ABD中，由正弦定理得：＝，
所以sin ∠ADB＝＝＝.
因为A＝45°，所以0°<∠ADB<135°，
所以∠ADB＝30°.
(2)在△ABD中，∠ABD＝180°－30°－45°＝105°，
sin 105°＝，所以S△ABD＝BA·BD·sin ∠ABD＝×2×2×＝＋1；
在△BCD中，S△BCD＝DC·BD·sin ∠BDC＝×2×2×＝2.
所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝3＋1．(共45张PPT)
第二章 平面向量及其应用
§6 平面向量的应用
6.1 余弦定理与正弦定理
三、用余弦定理、正弦定理解三角形
第2课时 解三角形的实际应用举例
课程标准 核心素养
掌握解三角形的实际应用. 通过余弦定理、正弦定理的应用，提升数学抽象，数学建模，数学运算素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
知识点1
测量中的有关术语
基础知识
思考：仰角、俯角、方位角有什么区别？
提示：三者的参照不同．仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．
知识点2
利用余弦定理、正弦定理解决实际测量问题时，应具备的测量数据
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β. ( )
(2)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°. ( )
(3)方位角大小范围是[0，π)． ( )
[解析] (1)仰角与俯角是相对的，它们是平行线内错角．
(2)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的南偏西44°.
(3)方位角范围为[0,2π)．
√
×
×
2．如图，为了测量障碍物两侧A、B之间的距离，给定下列四组数据，测量时应该用的数据为 ( )
A．α，a，b B．α，β，a
C．a，b，γ D．α，β，b
C
D
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 测量距离问题
(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是______m.
例 1
60
[归纳提升] 测量距离的基本类型及方案
方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；
在△BCD中用正弦定理求BC；
在△ABC中用余弦定理求AB
【对点练习】 (1)如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，测量者在A点所在的岸边选定一点C，测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为_________.
A
题型二 测量高度问题
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D．现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB．
例 2
[归纳提升] 测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
题型三 测量角度问题
例 3
课堂检测 固双基
C
2．某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为60°，在塔底C处测得A处的俯角为45°.已知山岭高CD为36米，则塔高 BC为 ( )
B
D
4.如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝______米．
32
5．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A，B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A，B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，又知AB的长为40 m，斜坡与水平面成30°角，求该转播塔的高度．
素养作业 提技能(共44张PPT)
第二章 平面向量及其应用
§6 平面向量的应用
6.1 余弦定理与正弦定理
三、用余弦定理、正弦定理解三角形
第1课时 三角形中的几何计算
课程标准 核心素养
通过对余弦定理、正弦定理的学习与研究，明确可以解决的类型. 通过余弦定理、正弦定理的应用，提升逻辑推理，数学运算素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
bcsin A
知识点1
三角形的面积公式
基础知识
(a＋b＋c)
知识点2
余弦定理的形式
2R
知识点3
正弦定理的形式
2Rsin A
思考：在解三角形时，边角至少需要知道几个才能求出其他边角？
提示：由余弦定理、正弦定理的内容可以看出，至少需要知道三个(不能全为角)才能求出其他边角．
基础自测
√
√
×
C
A
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 有关线段长度或夹角计算
如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°.求BD的长．
例 1
题型二 与面积有关的问题
例 2
题型三 三角形中的综合问题
例 3
[归纳提升] 解三角形综合问题的方法
(1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解．
(2)解三角形常与向量、三角函数知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后要根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．
课堂检测 固双基
B
B
D
B
5．如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，求该四边形的面积．
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