第二章 6.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是( C )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
[解析] ＝(1,1)，＝(－3,3)，
所以·＝(1,1)·(－3,3)＝－3＋3＝0，
故⊥，所以△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．
2．在菱形ABCD中，下列关系式不正确的是( D )
A．∥
B．(＋)⊥(＋)
C．(－)·(－)＝0
D．·＝·
[解析] ·＝||||cos A，
·＝||||cos(π－A)，
∴·＝－·.
3．已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是( C )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] ＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，
＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)，
所以·＝1×21＋(－3)×7＝21－21＝0.
故⊥，且||≠||.∴△ABC是直角三角形．
4．在△ABC中，若·＋||2＝0，则△ABC的形状是( C )
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
[解析] ∵·＋||2＝0，
∴·＋2＝0，即·(＋)＝0.
∴·＝0.
∴⊥，即AB⊥AC．
∴∠A＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
5．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成120°角，且F1，F2的大小分别为1和2，则有( A )
A．F1，F3成90°角
B．F1，F3成150°角
C．F2，F3成90°角
D．F2，F3成60°角
[解析] 由F1＋F2＋F3＝0 F3＝－(F1＋F2) F＝(F1＋F2)2＝F＋F＋2|F1||F2|cos 120°＝1＋4＋4×＝3 |F3|2＝3，由|F1|＝1，|F2|＝2，|F3|＝知，F1，F3成90°角，故选A．
6．两个大小相等的共点力F1 ，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( B )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．10 N
[解析] |F1＋F2|＝20.
又F1⊥F2，所以|F1|＝|F2|＝10，
当F1与F2夹角为120°时，
|F1＋F2|＝
＝＝10(N)．
二、填空题
7．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且＝2，则实数a＝ 2 .
[解析] 设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，
∵＝2，
∴解得
∴C(3,3)．
又∵C在直线y＝ax上，∴3＝a×3，
∴a＝2.
8．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 2 .
[解析] ∵F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－F1－F2，
∴|F3|＝|－F1－F2|＝
＝
＝＝2.
9．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝ － .
[解析] 本小题考查内容为向量的加减法与向量数量积的计算．
如图，令＝a，＝b，＝(a＋b)，＝＋＝(b－a)＋＝b－a，
∴·＝·＝a·b－＋－a·b
＝－－a·b
＝－－×＝－.
三、解答题
10．如图，四边形ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折叠，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积．
[解析] 如图，建立坐标系，设E(e,0)，AM交EF于点N，由正方形面积为64，可得边长为8，由题意可得M(8,4)，N是AM的中点，故N(4,2)．
所以＝(8,4)，＝－＝(4,2)－(e,0)＝(4－e,2)，因为⊥，所以8(4－e)＋4×2＝0，解得e＝5，即AE＝5，所以S△AEM＝AE·BM＝10.
B 组·素养提升
一、选择题
1．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为( C )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
[解析] 设A(－10,10)，5秒后P点的坐标为A1(x，y)，
则＝(x＋10，y－10)，由题意有＝5v，
即(x＋10，y－10)＝5(4，－3)＝(20，－15)，
所以解得故选C．
2．已知点O、N、P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O、N、P依次是△ABC的( C )
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
[解析] 由||＝||＝||，已知点O为△ABC的外心，由＋＋＝0，知点N为△ABC的重心；由·＝·，得(－)·＝0，即·＝0，故⊥.同理，AP⊥BC，故P为△ABC的垂心，选C．
3．△ABC中，设＝c，＝a，＝b，若c·(c＋a－b)<0，则△ABC是( C )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定其形状
[解析] 由已知，·(＋－)＝·2<0，
∴角A为钝角，故选C．
4．(多选)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的值可以是( BCD )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
[解析] 方法1：(解析法)
建立坐标系如图所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)．
设P点的坐标为(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，
∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×(－)＝－.
当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.
故选BCD．
方法2：(几何法)如图所示，＋＝2(D为BC的中点)，则·(＋)＝2·.
要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min＝－2||||，问题转化为求||||的最大值．
又||＋||＝||＝2×＝，
∴||||≤2＝2＝，
∴[·(＋)]min＝2(·)min＝－2×＝－.
故选BCD．
二、填空题
5．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 λ>－且λ≠0 .
[解析] ∵a与a＋λb均不是零向量，夹角为锐角，
∴a·(a＋λb)>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－.
当a与a＋λb共线时，a＋λb＝ma，
即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m)．
∴，得λ＝0，
即当λ＝0时，a与a＋λb共线，∴λ≠0.
即λ>－且λ≠0.
6．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是 .
[解析] 以α，β为邻边的平行四边形的面积为：
S＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝，
所以sin θ＝，又因为|β|≤1，所以≥，即sin θ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈.
三、解答题
7．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
[解析] (1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，∴D，
∴||＝，||＝，
∴||＝||，即CD＝AB．
(2)∵E为CD的中点，∴E，
设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，∴＝λ.
即(x，－m)＝λ，
则故λ＝，即x＝，∴F，
∴||＝，
即AF＝.(共37张PPT)
第二章 平面向量及其应用
§6 平面向量的应用
6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例
课程标准 核心素养
1．能运用向量的有关知识解决平面几何中的线段平行，垂直，相等等问题． 2．能运用向量的有关知识解决物理中的有关力，速度，功等问题. 通过“平面向量的应用举例”的学习，培养学生的数学建模，数学运算等素养.
必备知识 探新知
关键能力 攻重难
课堂检测 固双基
素养作业 提技能
必备知识 探新知
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)证明线线平行问题：常用向量平行的等价条件：
a∥b(b≠0) a＝λb _____________.
(2)证明垂直问题：常用向量垂直的等价条件：
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
x1y2＝x2y1
知识点1
向量在平面几何中的应用
基础知识
(1)物理学中的许多量，如力，位移，速度，加速度都是向量．
(2)物理学中的力，速度，加速度，位移的合成与分解就是向量的加减法．
知识点2
向量在物理学中的应用
基础自测
√
×
×
C
3．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为 ( )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
A
4．已知两个力F1和F2，若F1＝(1,1)，F2＝(－3,0)，则F1，F2的夹角为_____.
关键能力 攻重难
题型探究
题型一 平面向量在解析几何中的应用
已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．
(1)求直线DE，EF，FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．
例 1
【对点练习】 在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求角A的平分线所在的直线方程．
题型二 向量在平面几何中的应用
例 2
[归纳提升] 用向量解平面几何问题的方法
(1)基法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基，用基表示有关向量，把问题转化为只含有基向量的运算．
(2)坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算．
【对点练习】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
题型三 向量在解决物理问题中的应用
例 3
[归纳提升] 1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．
2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．
3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．
【对点练习】 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4米/秒，这时气象台报告实际风速为2米/秒．试求风的实际方向和汽车的速度大小．
课堂检测 固双基
1．已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是 ( )
A．(8,0) B．(9,1)
C．(－1,9) D．(3,1)
[解析] ∵F＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)，故选B．
B
D
D
4．已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)，且F1＋F2＋F3＝0，则F3＝__________.
(－5,1)
5．如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点．求证：AF⊥DE.
素养作业 提技能
